ASTRO ELECTRONIC
Dipl.-Ing. Michael Koch
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Optische Berechnungen, Interferometrie
Optical Formulas, Interferometry
 Copyright  Michael Koch 2005-2015

1. Der Zusammenhang zwischen Z3 und Fokus-Verschiebung
2. Astigmatismus im Bath-Interferometer 2. Astigmatism in the Bath Interferometer
3. Interferometrie bei 1550nm 3. Interferometry at 1550nm
4. Wie wirkt sich ein Fehler beim Durchmesser des Interferogramms aus?
5. Laser-Foucault-Test
6. Zerlegung der Differenz zwischen Parabel und Sphäre in Zernike-Polynome, zwecks Korrektur der interferometrischen Messung 6. Expressing the difference between parabola and sphere as Zernike polynomials, for correcting the interferometric measurement
7. Abschätzung der Streifen-Dichte beim Test eines Parabol-Spiegels
gegen eine Transmissions-Sphäre mittels Phase Shift Interferometrie
7. Estimating the fringe density when testing a parabolic mirror against a transmission sphere with a phase shifting Fizeau interferometer
8. Abschätzung der Streifen-Dichte beim Test eines Parabol-Spiegels
gegen eine Transmissions-Sphäre mittels statischer Interferometrie
8. Estimating the fringe density when testing a parabolic mirror against a transmission sphere with static interferometry
9. Fehler durch Temperatur-Schichtung in der Luft 9. Errors due to Temperature Gradient in the Air
10. Asphären-Test durch Zusammensetzen mehrerer Interferogramme 10. Testing Aspheres by Stitching Interferometry
11. Teststand-Fehler 11. Test Stand Aberrations
12. Ritchey-Common Test 12. Ritchey-Common Test
13. Der Zusammenhang zwischen Oberflächen- und Wellenfrontfehlern 13. The Relationship between Surface Errors and Wavefront Errors
14. Astigmatische Verspannung eines Spiegels 14. Astigmatic Deformation of a Mirror
15. Genauigkeit von Fizeau Interferometer Objektiven 15. Accuracy of Fizeau Interferometer Objectives
16. Verzeichnung bei Interferogrammen 16. Distortion in Interferograms
17. Curve Fitting
18. Berecnungen zum Tilted Wave Interferoemter
19. Darstellung einer ungleichmäßig dick aufgedampften Aluminium-Schicht als Zernike-Polynome
1. Der Zusammenhang zwischen Z3 und der Fokus-Verschiebung
1. Relationship between Z3 and focus displacement

Wenn ein Hohlspiegel oder ein Objektiv interferometrisch vermessen wird, dann ändert sich der Z3 Koeffizient wenn das Interferometer oder das Testobjekt entlang der optischen Achse verschoben wird. Der Zusammenhang wird durch diese Formel beschrieben:

dz = -8 * Z3 * N^2

mit
dz = Verschiebung des Interferometers in mm oder
     Verschiebung des Testobjekts in mm oder
     Veränderung der Brennweite des Testobjekts in mm (beispielsweise aufgrund geänderter Wellenlänge) 
Z3 = Zernike-Koeffizient für Power oder Defokus, bezogen auf die reflektierte Wellenfront
N  = Öffnungsverhältnis

Bei Objektiven die in Autokollimation getestet werden ist N = Brennweite / Durchmesser
Bei Hohspiegeln die im Krümmungsmittelpunkt vermessen werden ist N = Krümmungsradius / Durchmesser

Wenn die Zernike-Koeffizienten so ermittelt wurden, dass sie sich auf den einfachen Durchgang durch das Objektiv beziehen, dann muss der Faktor -8 durch einen Faktor -16 ersetzt werden! (Beispiel: "double pass" in OpenFringe)
 
 

Herleitung:

Ein sphärischer Spiegel mit Krümmungsradius R und Durchmesser D wird interferometrisch vermessen. In Fall 1 ist der Spiegel perfekt justiert, so dass Z3 Null ist. Die Pfeiltiefe des Spiegels kann nach folgender Näherung berechnet werden:

S1 = D^2 / (8 * R)

In Fall 2 wird der Spiegel entlang der optischen Achse um den Betrag dz verschoben. Die Pfeiltiefe S2 ist die Pfeiltiefe der Wellenfront, i dem Moment wenn sie die Kante des Spiegels erreicht. Sie unterscheidet sich von der Pfeiltiefe S1 des Spiegels.

S2 = D^2 / (8 * (R - dz))

Die Pfeiltiefe in der reflektierten Wellenfront muss 2 * (S1 - S2) sein. Das entspricht dem Peak-to-Valley Fehler.
Der Z3 Koeffizient ist genau halb so gross wie der Peak-to-Valley Fehler, also muss gelten:

Z3 = S1 - S2

Das führt zu der Gleichung

     D^2   (  1      1    )
Z3 = --- * ( --- - ------ )
     8*R   (  R    R - dz )

und daraus ergibt sich näherungsweise

dz = -8 * Z3 * R^2 / D^2

was mit N = R / D vereinfacht werden kann zu

dz = -8 * Z3 * N^2
 

2. Astigmatismus im Bath-Interferometer
2. Astigmatism in the Bath interferometer

Dieser Artikel basiert auf dem folgenden Artikel von Dave Rowe:
This article is based on the article from Dave Rowe: 
http://starryridge.com/mediawiki-1.9.1/index.php?title=Aberrations_in_the_Bath_Interferometer

Der Krümmungsmittelpunkt des sphärischen Spiegels befindet sich im Koordinatenursprung.
Beim Bath-Interferometer wird nicht direkt auf der optischen Achse getestet, denn es gibt zwei räumlich getrennte Brennpunkte: Brennpunkt 1 befindet sich an der Stelle (b,0,f) und Brennpunkt 2 ist an der Stelle (-b,0,-f).
The center of curvature of a spherical mirror is in the origin of the coordinate system. 
The Bath interferometer doesn't test exactly on the optical axis, but instead there are two separated focal points: Focal point 1 is at (b,0,f) and focal point 2 is at (-b,0,-f).

R ist der Krümmungsradius des sphärischen Spiegels.
R is the radius of curvature of the spherical mirror.

x, y und z sind die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Spiegeloberfläche.
x, y and z are the coordinates of an arbitrary point on the surface of the mirror.

Man könnte einwänden, dass die Koordinaten dieser Punkte nicht exakt richtig sind, weil der Einfallswinkel auf dem Spiegel nicht exakt dem Ausfallswinkel entspricht. 
Die genauen Koordinaten wären (b(1-f/R), 0, f) und (-b(1+f/R), 0 ,-Rf/(R+2f)).
Ob die vereinfachten Koordinaten (die im folgenden verwendet werden) einen signifikanten Fehler erzeugen ist unklar.
One could object that the coordinates of these points are not exact, because the angles of the incoming and outgoing beams (at the mirror) are not exactly the same.
A better approximation would be (b(1-f/R), 0, f) and (-b(1+f/R), 0 ,-Rf/(R+2f)).
It's unsure if the simplified coordinates (which will be used in the following derivation) produce a significant error.
 

Es gilt die Formel für die sphärische Oberfläche des Spiegels:
The formula for the spherical surface of the mirror:

z^2 = R^2 - x^2 - y^2

L1 ist die Weglänge vom Brennpunkt 1 zum Punkt (x,y,z):
L1 is the distance from focal point 1 to point (x,y,z):

L1^2 = (x-b)^2 + y^2 + (z-f)^2

L2 ist die Weglänge vom Brennpunkt 2 zum Punkt (x,y,z):
L2 is the distance from focal point 2 to point (x,y,z):

L2^2 = (x+b)^2 + y^2 + (z+f)^2

Dies kann geschrieben werden als:
This can be written as:

L1^2 = L^2 - q
L2^2 = L^2 + q

mit with

L^2 = R^2 + b^2 + f^2
q = 2 (xb + zf)

2L ist der Abstand vom Brennpunkt 1 zum Punkt (0,0,R) plus dem Abstand zum Brennpunkt 2.
2L is the distance from focal point 1 to point (0,0,R) plus the distance to focal point 2.

L1 und L2 kann man nun als Reihe darstellen:
L1 and L2 can be expressed as Taylor series:

                          q     q^2     q^3      5 q^4
L1 = sqrt(L^2 - q) = L - --- - ----- - ------ - ------- - ...
                         2 L   8 L^3   16 L^5   128 L^7

                          q     q^2     q^3      5 q^4
L2 = sqrt(L^2 + q) = L + --- - ----- + ------ - ------- + ...
                         2 L   8 L^3   16 L^5   128 L^7

Der uns interessierene Weglängen-Unterschied ist dann:
Now we can calculate the optical path difference:

                      q^2     5 q^4 
OPD = 2 L - L1 - L2 = ----- + ------ + ...
                      4 L^3   64 L^7 

Man beachte das Vorzeichen: Wenn OPD positiv ist, dann ist auch der Wellenfronf-Fehler positiv.
Please note the sign: If OPD is positive, then the wavefront error is positive as well.

Weiterhin kann L durch R approximiert werden:
L can be approximated by R:

       q^2      5 q^4 
OPD = ------ + ------- + ...
      4 R^3    64 R^7 

Wenn man nun für q die ursprüngliche Definition einsetzt und ausmultipliziert, dann erhält man:
Now if we use the original definition for q and solve the equation, we get:

      b^2 x^2   f^2 z^2   2bfxz   5 b^4 x^4   5 f^4 z^4   5 b f^3 x z^3   5 b^3 f x^3 z   15 b^2 f^2 x^2 z^2
OPD = ------- + ------- + ----- + --------- + --------- + ------------- + ------------- + ------------------ + ...
        R^3       R^3      R^3      4 R^7       4 R^7          R^7             R^7              2 R^7

Nun stellt sich die Frage, wie gross die einzelnen Terme typischerweise sind. Wir nehmen folgende Zahlen an:
Now the question is how big these terms are typically. Let's assume the following typical values:

R = 2000mm
b = 5mm
f = 10mm
x = -100mm..-50mm..0mm..50mm..100mm
z = sqrt(R^2 - x^2)
 
Term 1...8 x = -100mm
z = 1997.498436mm
x = -50mm
z = 1999.374902mm
x = 0mm
z = 2000mm
x = 50mm
z = 1999.374902mm
x = 100mm
z = 1997.498436mm
(b^2 x^2) / R^3    31.250000nm     7.812500nm     0.000000nm       7.8125nm    31.250000nm
(f^2 z^2) / R^3 49875.000000nm
(-125.000000nm)
49968.750000nm
 (-31.250000nm)
50000.000000nm
   (0.000000nm)
49968.750000nm
 (-31.250000nm)
49875.000000nm
(-125.000000nm)
(2 b f x z) / R^3 -2496.873044nm
   (0.000000nm)
-1249.609314nm
  (-1.172792nm)
    0.000000nm
   (0.000000nm)
 1249.609314nm
   (1.172792nm)
 2496.873044nm
   (0.000000nm)
(5 b^4 x^4) / (4 R^7)     0.000001nm     0.000000nm     0.000000nm     0.000000nm     0.000001nm
(5 f^4 z^4) / (4 R^7)     1.554697nm     1.560547nm     1.562500nm     1.560547nm     1.554697nm
(5 b f^3 x z^3) / R^7    -0.038916nm    -0.019513nm     0.000000nm     0.019513nm     0.038916nm
(5 b^3 f x^3 z) / R^7    -0.000024nm    -0.000003nm     0.000000nm     0.000003nm     0.000024nm
(15 b^2 f^2 x^2 z^2) / (2 R^7)     0.000974nm     0.000244nm     0.000000nm     0.000244nm     0.000974nm

Term 1 besteht aus einer Konstanten, Defokus und Astigmatismus. Dies ist der einzige Term der in der Praxis relevant ist. 
Term 2 besteht aus einer Konstanten und Defocus (Werte in Klammern: abzüglich 50000nm)
Term 3 besteht aus Verkippung mit sehr wenig Koma (Werte in Klammern: Verkippung subtrahiert)
Term 1 consists of piston, defocus and astigmatism. This is the only term that is important in typical cases.
Term 2 consists of piston and defocus (Values in parantheses: 50000nm subtracted)
Term 3 consists of tilt with very small coma (Values in parantheses: tilt subtracted)
 
 

Wie gross ist der Zernike-Koeffizient für den Astigmatismus?

      b^2 x^2 
OPD = -------
        R^3 

z[4] = r^2 * cos(2 * t)

r ist die normalisierte radiale Variable im Bereich [0..1]
r is the normalized radial variable in range [0..1]

Koordinatentransformation: Coordinate transformation:
t = arctan(y/x)
a^2 = x^2 + y^2
x = a cos(t)
y = a sin(t)

a ist die radiale Variable auf dem Spiegel im Bereich [0..D/2]
a is the radial variable on the mirror in range [0..D/2]

x^2 = a^2 - y^2

      b^2 
OPD = --- * (a^2 - y^2) 
      R^3 

      b^2 
OPD = --- * (a^2 - (a sin(t))^2) 
      R^3 

      b^2 
OPD = --- * (a^2 - a^2 sin^2(t) ) 
      R^3 

      b^2 
OPD = --- * a^2 ( 1 - sin^2(t) ) 
      R^3 

      b^2 
OPD = --- * a^2 cos^2(t)
      R^3 

cos^2(t) = (1 + cos(2t)) / 2

      b^2       ( 1 + cos(2t) )
OPD = --- * a^2 ( ----------- )
      R^3       (     2       )

       b^2           b^2 
OPD = ----- * a^2 + ----- * a^2 * cos(2t)
      2 R^3         2 R^3

Der erste Term besteht aus Defokus und aus einer Konstanten, und interessiert daher nicht.
The first term consists only of defocus and piston, and therefore doesn't interest us.

Die Variable a muss jetzt auf den Bereich [0..1] normalisiert werden:
The variable a must be normalized in the range [0..1]:

a = r * (D/2)

      b^2 D^2 
OPD = ------- * r^2 * cos(2t)
       8 R^3 

Oder wenn man den seitlichen Abstand der beiden Brennpunkte d = 2b betrachtet:
Or if we regard the beam separation d = 2b:

      d^2 D^2 
OPD = ------- * r^2 * cos(2t)
      32 R^3 

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
By comparing the coefficients we get:

     b^2 D^2
Z4 = -------
      8 R^3

oder or 

     d^2 D^2
Z4 = -------
     32 R^3
 

3. Interferometrie bei 1550nm
3. Interferometry at 1550nm

Die Grundidee wurde in einem kurzen Artikel von Peter de Groot beschrieben, der zeitweise von der Webseite der Firma Zygo heruntergeladen werden konnte. 
Ein Fizeau-Interferometer wird mit einer 1550nm DFB-Laser-Diode aufgebaut. Die Phase wird geschoben, indem die Wellenlänge des Lasers verändert wird. Dieses Prinzip wird bereits in den Zygo-Interferometern "VeriFire MST" verwendet, und zwar sowohl bei 1550nm wie auch bei 633nm. Siehe auch US-Patent Nr. 4594003 
 

Vorteile:
-- Der mechanisch bewegte Phasenschieber (mit all seinen Problemen) entfällt.
-- Bei 1550nm ist die Streifen-Dichte ca. 2.5 mal niedriger als bei 633nm. Somit können auch stark asphärische Testobjekte geprüft werden, bei denen die Streifendichte bei 633nm zu gross wäre.
-- Es können optische Flächen getestet werden, die nur feingeschliffen, aber noch nicht auspoliert sind.
-- DFB (Distributed Feedback) Laserdioden werden in grosser Anzahl bei Telecom-Anwendungen verwendet und sind entsprechend billig als Restposten zu bekommen.
-- Der Optische Aufbau ist sehr einfach, normales BK7 Glas ist gut für 1550nm geeignet.
-- Es besteht die Möglichkeit mehrere im Strahlengang liegende Flächen gleichzeitig zu vermessen, auch dann wenn diese Flächen parallel zueinander sind. Das ist mit konventionellen phasenschiebenden Interferometern nicht möglich. Beispielsweise könne beide Flächen eines optischen Fensters gleichzeitig vermessen werden, und sogar die Inhomogenitäten des Glases können errechnet werden.
 

Nachteile:
-- Die Kamera im Interferometer muss bei 1550nm empfindlich sein. Kameras mit Silizium-CCD-Chip sind bei 1550nm völlig unempfindlich und daher ungeeignet.
Video-Kameras mit InGaAs CCD-Chip sind noch sehr teuer, Hersteller ist z.B.: VDS Vosskühler, Goodrich
Video-Kameras mit Phosphor-Up-Converter vor dem Silizium-CCD-Chip sind verfügbar, aber relativ unempfindlich und stark nichtlinear, Beispiel: Spiricon SP-1550M.
Röhren-Video-Kameras mit IR-empfindlicher Röhre sind neu ebenfalls ziemlich teuer, Grössenordnung 10000 EUR.
Solche Kameras tauchen aber gelegentlich auf dem Gebrauchtgeräte-Markt auf und der Preis liegt dann um $500...$5000, je nach Zustand. Beispiele: Hamamatsu C2741-03, Hamamatsu C1000-03, Electrophysics MicronViewer. Beim Kauf unbedingt darauf achten dass die richtige Röhre eingebaut ist, es gibt viele verschiedene Versionen und nicht alle sind bei 1550nm empfindlich. Diese Kameras haben zwei Nachteile:
1. Der Gamma-Wert ist etwa 0.7, das heisst die Kamera reagiert nichtlinear auf einfallendes Licht, das muss später bei der Auswertung der Interferogramme berücksichtigt werden.
2. Die Kameras haben einen Nachleucht-Effekt, der mehrere Sekunden andauern kann. Das bedeutet dass man einige Sekunden warten muss, bevor ein Interferogramm digitalisiert werden kann, so dass sich eine Gesamt-Zeit von etwa 10 bis 20 Sekunden für 5 phasenverschobene Interferogramme ergibt.
Möglicherweise könnte man Bildverstärker-Röhren aus alten militärischen IR-Nachtsichtgeräten verwenden, die bei 1550nm noch etwa 0.01%  Empfindlichkeit haben (im Vergleich zur Empfindlichkeit bei 800nm).
-- Bei 1550nm sieht man nichts :-( d.h. man braucht noch eine zweite Spezialkamera zum Justieren der Optik.
-- Die notwendige Wellenlängen-Verstimmung des Lasers hängt von der optischen Weglängen-Differenz ab. Sie wird um so kleiner, je grösser die Weglängen-Differenz ist. Daher braucht man eine extrem gute Stabilisierung der Laser-Wellenlänge. Das bedeutet dass der Laser-Strom extrem konstant gehalten werden muss, und auch die Temperatur des Lasers muss stabilisiert werden. Ein Temperatur-Sensor und ein Peltier-Kühler sind in den DFB-Laser-Modulen üblicherweise schon eingebaut.
-- Der Vorteil der niedrigeren Streifen-Dichte bei 1550nm im Vergleich zu 633nm wird allerdings teilweise wieder kompensiert durch die Tatsache, dass es bei 633nm hochauflösende Megapixel-CCD-Kameras gibt, während bei den 1550nm Röhrenkameras die Auflösung auf ca. 500 Zeilen begrenzt ist.

Wenn man die Vorteile und Nachteile gegeneinander abwägt, dann bleiben eigentlich nur zwei wirkliche Vorteile übrig:
1. Eignung für unpolierte (feingeschliffene) optische Flächen.
2. Eignung zur Vermessung von mehreren parallelen optischen Flächen, in Verbindung mit einer komplizierten Software.
 

Bezugsquellen: Ebay, Ebay und nochmal Ebay.

Die teuersten Einzelteile sind zweifellos die beiden Kameras, gefolgt vom Laserdioden-Controller.
Gute DFB-Lasermodule gibt's bei Ebay schon für $50...$150, unbedingt darauf achten dass sie schmalbandig sind, typisch sind 1-2 MHz Bandbreite. Vor dem Kauf die Datenblätter studieren.

Preis für alles zusammen: ca. $5000, wenn man _lange_ nach günstigen Angeboten sucht.
 

Phasenschiebende Interferometrie mit verstimmter Laserdiode:

Die Frequenz (bzw. Wellenlänge) einer Laserdiode hängt von zwei Parametern ab:
1. Strom (Grössenordnung -1 GHz / mA)
2. Temperatur (Grössenordnung -10 GHz / K)

Beim Phasenschiebe-Verfahren brauchen wir einen Phasenhub von ca. lambda/4. Die Wellenlängen-Verstimmung delta_lambda des Lasers hängt von der Weglängen-Differenz ab:

delta_lambda = lambda^2 / (4 * OPD)

mit lambda = Wellenlänge
    OPD = optische Weglängen-Differenz

Die Verstimmung kann man auch als Frequenz ausdrücken:

delta_f = c / (4 * OPD)

mit c = Lichtgeschwindigkeit 300000000 m/s

Einige Beispiele für lambda = 1550nm:
 
OPD Phasenhub delta_lambda delta_f
10 mm lambda/4 60 pm 7.5 GHz
10 mm 10% von lambda/4 6 pm 750 MHz 
1 m lambda/4 0.6 pm 75 MHz
1 m 10% von lambda/4 0.06 pm 7.5 MHz
3 m lambda/4 0.2 pm 25 MHz
3 m 10% von lambda/4 0.02 pm 2.5 MHz
6 m lambda/4 0.1 pm 12.5 MHz
6 m 10% von lambda/4 0.01 pm 1.25 MHz

Wenn man einen Spiegel mit 3m Krümmungsradius mit einem Fizeau-Interferometer vermisst, dann ist die Weglängen-Differenz 6m. Wenn der Phasenhub-Fehler kleiner als 10% sein soll, dann muss die Wellenlänge auf besser als 0.01 pm stabilisiert werden. Das entspricht einer Frequenz-Stabilität von 1.25 MHz. Das dürfte sehr schwer zu realisieren sein, da die Bandbreite des DFB-Lasers üblicherweise schon mit 1-2 MHz angegeben wird. Vermutlich wird der Laser schmalbandiger, wenn der Laser-Strom möglichst gross ist.

Beim Zygo "VeriFire MST 1550nm" ist die maximale Weglängen-Differenz mit 4.5 m angegeben (bzw. maximal 2.25 m zwischen zwei optischen Flächen). Die Wellenlänge des DFB Lasers wird über die Temperatur gesteuert. Die Laser-Bandbreite ist mit 12 MHz angegeben.

Beim Zygo "VeriFire MST 633nm" ist die maximale Weglängen-Differenz mit 10 m angegeben (bzw. maximal 5 m zwischen zwei optischen Flächen). Es handelt sich um einen "tunable external cavity solid state laser". Die Laser-Bandbreite ist mit 12 MHz angegeben.
 

Stromabhängigkeit der Wellenlänge beim DFB-Laser NX8563LB von NEC, 1550nm:

Gemessene Strom-Abhängigkeit der Wellenlänge: ca. 4.3 pm/mA
Der Laserdioden-Treiber LDX-3724B hat eine Modulations-Empfindlichkeit von 20 mA/V.
Daraus ergibt sich die Abhängigkeit der Wellenlänge von der Modulationsspannung:

s = 86 pm/V. 

Die notwendige Modulations-Spannung für lambda/4 Phasenhub hängt von der Weglängen-Differenz im Interferometer ab:

      delta_lambda       lambda^2
Um = --------------  = ------------- 
           s            s * 4 * OPD

Beispiele:
OPD Phasenhub delta_lambda Um
10 mm lambda/4 60 pm 700mV
100 mm lambda/4 6 pm 70mV
1 m lambda/4 0.6 pm 7mV
3 m lambda/4 0.2 pm 2.3mV
6 m lambda/4 0.1 pm 1.2mV
10 m lambda/4 0.06 pm 0.7mV

 

Temperaturabhängigkeit beim DFB-Laser NX8563LB von NEC, 1550nm:

Gemessene Temperatur-Abhängigkeit der Wellenlänge: 118 pm/K 
Die Temperatur-Stabilisierung des LDX-3724B arbeitet auf 0.004 K genau. Das entspricht einer Verschiebung der Wellenlänge um 0.47 pm.
Folgerung: Die Temperatur-Stabilisierung muss extrem gut sein, die Regelung im LDX-3724B genügt möglicherweise noch nicht.
 
 

Wellenlängen-Stabilisierung mit Michelson-Interferometer:

Idee: geschlossener Regelkreis, Messung der Laser-Wellenlänge mit Michelson-Interferometer, 2 oder 4 Fotodioden tasten das Streifen-Muster ab und liefern ein Quadratur-Signal, daraus wird ein Korrektursignal zur Nachstimmung der Laserdiode abgeleitet. Im Michelson-Interferometer wird ein sehr grosser Weglängen-Unterschied durch eine lange Single-Mode Glasfaser realisiert. 

Abschätzung der Auflösung bei digitaler Quadratur-Auswertung, bzw. Bestimmung des notwendigen Weglängen-Unterschieds im Michelson-Interferometer:

delta_lambda = (lambda^2) / (4 * OPD)

OPD = (lambda^2) / (4 * delta_lambda)

wobei OPD hier die optische Weglängen-Differenz ist, also die Länge einer Glasfaser multipliziert mit dem effektiven Brechungsindex der Faser.

Beispiel: 10m Glasfaser mit n = 1.5 (???), optische Weglänge 15m, delta_lambda = 0.04 pm

Oder anders ausgedrückt: Die Verzögerungs-Glasfaser im Michelson-Interferometer muss signifikant länger sein als die Weglängen-Differenz des Optik-Test-Interferometers. Eine 100m Glasfaser scheint notwendig zu sein.
 

Bezugsquellen für InGaAs Fotodioden: 
-- Lasermate Group Inc.
-- Roithner Laser, Wien
 

4. Wie wirkt sich ein Fehler beim Durchmesser des Interferogramms aus?
4. Errors in the diameter of the interferogram
 

Die Differenz zwischen Sphäre und Parabel:

      (   r^4         r^6         5 r^8          )
e = D ( -------- + --------- + ----------- + ... )
      ( 1024 N^3   32768 N^5   4194304 N^7       )

Nehmen wir an der Durchmesser wird um den Faktor k falsch bestimmt:

s = r * k

Damit ergibt sich folgende Differenz zwischen Sphäre und Parabel:

       (   s^4         s^6         5 s^8          )
e2 = D ( -------- + --------- + ----------- + ... )
       ( 1024 N^3   32768 N^5   4194304 N^7       )

Die Differenz ist dann:

           ( r^4 (1-k^4)   r^6 (1-k^6)   5 r^8 (1-k^8)       )
e - e2 = D ( ----------- + ----------- + ------------- + ... )
           (  1024 N^3      32768 N^5     4194304 N^7        )

Beispiele:
Fehler bei der Bestimmung des Durchmessers
k
Fehler bei sphärischer Aberation
r^4
Fehler bei sphärischer Aberation 5. Ordnung
r^6
Fehler bei sphärischer Aberation 7. Ordnung
r^8
0.1% -0.4% -0.8% -1.6%
0.2% -0.8% -1.6% -3.2%
0.5% -2.0% -4.1% -8.3%
1.0% -4.1% -8.3% -17.3%
2.0% -8.2% -17.2% -37.3%
5.0% -21.6% -47.7% -118.3%

In Worten: Ein Fehler von 1% bei der Bestimmung des Durchmessers erzeugt einen Fehler von -4.1% bei der sphärischen Aberation.
 
 

Wie wirkt sich ein Fehler bei der Messung des Krümmungsradius aus?

Die Differenz zwischen Sphäre und Parabel:

      (   r^4         r^6         5 r^8          )
e = D ( -------- + --------- + ----------- + ... )
      ( 1024 N^3   32768 N^5   4194304 N^7       )

Ein Fehler bei der Bestimmung des Krümmungsradius des Spiegels ist gleichbedeutend mit einem Fehler in der Brennweite oder im Öffnungsverhältnis.
Nehmen wir an das Öffnungsverhältnis wird um den Faktor k falsch bestimmt:

M = N * k

Damit ergibt sich folgende Differenz zwischen Sphäre und Parabel:

       (   r^4         r^6         5 r^8          )
e2 = D ( -------- + --------- + ----------- + ... )
       ( 1024 M^3   32768 M^5   4194304 M^7      )

Die Differenz ist dann:

           (   r^4        r^4         r^6         r^6         5 r^8         5 r^8          )
e - e2 = D ( -------- - -------- + --------- - --------- + ----------- - ----------- + ... )
           ( 1024 N^3   1024 M^3   32768 N^5   32768 M^5   4194304 N^7   4194304 M^7       )

oder

           (   r^4      r^4 k^-3      r^6      r^6 k^-5       5 r^8      5 r^8 k^-7        )
e - e2 = D ( -------- - -------- + --------- - --------- + ----------- - ----------- + ... )
           ( 1024 N^3   1024 N^3   32768 N^5   32768 N^5   4194304 N^7   4194304 N^7       )

oder

           ( r^4 (1 - k^-3)   r^6 (1 - k^-5)   5 r^8 (1 - k^-7)       )
e - e2 = D ( -------------- + -------------- + ---------------- + ... )
           (    1024 N^3        32768 N^5        4194304 N^7          )

Beispiele:
Fehler beim Öffnungsverhältnis
(oder beim Krümmungsradius)
k
Fehler bei sphärischer Aberation
r^4
Fehler bei sphärischer Aberation 5. Ordnung
r^6
Fehler bei sphärischer Aberation 7. Ordnung
r^8
0.1% -0.3% -0.5% -0.7%
0.2% -0.6% -1.0% -1.4%
0.5% -1.5% -2.5% -3.4%
1.0% -2.9% -4.9% -6.7%
2.0% -5.8% -9.4% -12.9%
5.0% -13.6% -21.6% -28.9%

In Worten: Ein Fehler von 1% bei der Bestimmung des Öffnungsverhältnis erzeugt einen Fehler von -2.9% bei der sphärischen Aberation.
 

Wer Fehler findet möge mir das bitte sagen!
If you find bugs, please let me know!
 

5. Laser-Foucault-Test  5. Laser Foucault Test

Beim Laser-Foucault-Test wird das Interferometer entlang der Z-Achse bewegt und es werden mehrere Interferogramme gemacht.
Aus jedem dieser Interferogramme kann berechnet werden, bei welcher Zone die Krümmung des Spiegels genau mit der Krümmung der sphärischen Wellenfront übereinstimmt.

Dabei werden nur die rotations-symmetrischen Zernike-Polynome betrachtet:

Z3 = 2 r2 - 1 
Z8 = 6 r4 - 6 r2 + 1 
Z15 = 20 r6 - 30 r4 + 12 r2 - 1
 

Die gemittelte rotationssymmetrische Form der Spiegel-Oberfläche ist also:

OPD = z3 (2 r2 - 1) + z8 (6 r4 - 6 r2 + 1) + z15 (20 r6 - 30 r4 + 12 r2 - 1)

oder

OPD = r6 (20 z15) + r4 (-30 z15 + 6 z8) + r2 (12 z15 - 6 z8 + 2 z3) + (-z15 + z8 - z3)

Da uns die Punkte gleicher Krümmung interessieren, müssen wir nach r ableiten:

OPD' = r5 (120 z15) + r3 (-120 z15 + 24 z8) + r (24 z15 - 12 z8 + 4 z3) 

Eine Nullstelle ist offensichtlich immer bei r=0, also kann durch r dividiert werden:

r4 (120 z15) + r2 (-120 z15 + 24 z8) + (24 z15 - 12 z8 + 4 z3) = 0

Wir substituieren r2 = a

a2 (120 z15) + a (-120 z15 + 24 z8) + (24 z15 - 12 z8 + 4 z3) = 0

     -30 z15 + 6 z8     6 z15 - 3 z8 + z3
a2 + -------------- a + ----------------- = 0
         30 z15              30 z15

       15 z15 - 3 z8 +- sqrt(720 z152 - 270 z15 z8 + 36 z82 - 30 z15 z3)
a1,2 = -----------------------------------------------------------------
                      30 z15

Und daraus ergeben sich maximal zwei Zonen gleicher Krümmung:

           ( 15 z15 - 3 z8 +- sqrt(720 z152 - 270 z15 z8 + 36 z82 - 30 z15 z3) )
r1,2 = sqrt( ----------------------------------------------------------------- )
           (                            30 z15                                 )

Wenn es keine reellen Lösungen gibt, dann stimmt die Krümmung des Spiegels an keiner Stelle mit der Krümmung der sphärischen Wellenfront überein (ausgenommen in der Spiegelmitte).
Weiterhin muss geprüft werden ob die Lösungen im Bereich [0..1] liegen.
 

Für den Sonderfall z15 = 0 ergibt sich folgende Lösung:

a (24 z8) + (-12 z8 + 4 z3) = 0

    3 z8 - z3
a = --------- 
      6 z8

        ( 3 z8 - z3 )
r = sqrt( --------- )
        (   6 z8    )
 

 

6. Zerlegung der Differenz zwischen Parabel und Sphäre in Zernike-Polynome,
zwecks Korrektur der interferometrischen Messung
6. Expressing the difference between parabola and sphere as Zernike polynomials,
for correcting the interferometric measurement
 

  Die Differenz zwischen Parabel und Sphäre in Reihendarstellung (hier Fall 1):
  The difference between the parabola and the sphere as a power series (here case 1):

          x^4      x^6      5 x^8
  e = - ------ - ------- - --------- - ... 
        64 f^3   512 f^5   16384 f^7 

  mit x = Variable in radialer Richtung  variable in radial direction
      f = Brennweite der Parabel  focal length of parabola

  Für die Umrechnung in Zernike-Polynome muss x auf den Bereich [0..1] normiert werden,
  die neue Variable r ist 0 auf der optischen Achse und 1 am Rand des Spiegels:
  For the conversion into Zernike polynomials x must be normalized into the range [0..1],
  the new variable r is 0 on the optical axis and 1 at the edge of the mirror:

  r = 2 x / D       bzw.  x = r D / 2

  mit D = Durchmesser des Spiegels  diameter of the mirror
 

  Es ergibt sich diese Darstellung der Differenz zwischen Sphäre und Parabel:
  We get this formula for the difference between sphere and parabola:

          D^4            D^6             5 D^8 
  e = - -------- r^4 - --------- r^6 - ----------- r^8 - ...
        1024 f^3       32768 f^5       4194304 f^7 

  oder in kürzerer Schreibweise:
  or in a shorter written form:

  e = c4 r^4 + c6 r^6 + c8 r^8 + ...

  mit c4 =  - D^4 / (1024 f^3)
      c6 =  - D^6 / (32768 f^5) 
      c8 = -5 D^8 / (4194304 f^7)
 

  Offensichtlich sind hier nur die Winkel-unabhängigen Zernike-Polynome von Interesse:
  Obviously we need only the angle-independant Zernike polynomials in this case:

  P0  =  1                                        constant
  P3  = -1 +  2 r^2                            focus
  P8  =  1 -  6 r^2 +  6 r^4                   spherical 3rd order 
  P15 = -1 + 12 r^2 - 30 r^4 +  20 r^6         spherical 5th order
  P24 =  1 - 20 r^2 + 90 r^4 - 140 r^6 + 70 r^8   spherical 7th order

  mit r = radiale Variable im Bereich [0..1]  radial variable in range [0..1]
 

  Die Differenz e soll als gewichtete Summe dieser Polynome dargestellt werden:
  The difference e shall be expressed as a weighted sum of these polynomials:

  e = z0 P0 + z3 P3 + z8 P8 + z15 P15 + z24 P24

  oder  or

  e = ( z0 -   z3 +   z8 -    z15 +     z24 ) +
      (      2 z3 - 6 z8 + 12 z15 -  20 z24 ) r^2 + 
      (             6 z8 - 30 z15 +  90 z24 ) r^4 +
      (                    20 z15 - 140 z24 ) r^6 +
      (                              70 z24 ) r^8

  wobei z0, z3, z8, z15, z24 die gesuchten Zernike-Koeffizienten sind.
  where z0, z3, z8, z15, z24 are the unknown Zernike coefficients.

  Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich nun folgendes Gleichungssystem:
  By comparing the coefficients we get this system of equations:

  z0 -   z3 +   z8 -    z15 +     z24 = 0
       2 z3 - 6 z8 + 12 z15 -  20 z24 = 0
              6 z8 - 30 z15 +  90 z24 = c4
                     20 z15 - 140 z24 = c6
                               70 z24 = c8

  und das Gleichungssystem wird jetzt schrittweise gelöst:
  which will be solved now step by step:

  z24 = c8 / 70

  z0 -   z3 +   z8 -    z15  =    -   1 z24
       2 z3 - 6 z8 + 12 z15  =       20 z24
              6 z8 - 30 z15  = c4 -  90 z24
                     20 z15  = c6 + 140 z24

  z15 = (c6 + 140 z24) / 20

  z0 -   z3 +   z8 =    -  1 z24 +    z15
       2 z3 - 6 z8 =      20 z24 - 12 z15
              6 z8 = c4 - 90 z24 + 30 z15

  z8 = (c4 -  90 z24 + 30 z15) / 6

  z0 -   z3 = -1 z24 +    z15 -   z8
       2 z3 = 20 z24 - 12 z15 + 6 z8

  z3 = (20 z24 - 12 z15 + 6 z8) / 2
     = 10 z24 - 6 z15 + 3 z8

  z0 = - z24 + z15 - z8 + z3
 

  Zusammengefasst ergeben sich diese Formeln zur Berechnung der Zernike-Koeffizienten:
  Summarized we have these formulas for the unknown Zernike coefficients:

  z24 = c8 / 70
  z15 = (c6 + 140 z24) / 20
  z8  = (c4 -  90 z24 + 30 z15) / 6
  z3  = 10 z24 - 6 z15 + 3 z8
  z0  = - z24 + z15 - z8 + z3

  oder ineinander eingesetzt:  or:

  z24 =                    1/70 c8 
  z15 =          1/20 c6 + 1/10 c8
  z8  = 1/6 c4 +  1/4 c6 +  2/7 c8
  z3  = 1/2 c4 + 9/20 c6 +  2/5 c8
  z0  = 1/3 c4 +  1/4 c6 +  1/5 c8

  mit den ursprünglichen Werten für c4, c6, c8 ergibt sich:
  with the original values for c4, c6 and c8 we get:

  z24 =                                          -   D^8 / (58720256 f^7)
  z15 =                   -   D^6 / (655360 f^5) -   D^8 / ( 8388608 f^7)
  z8  = -D^4 / (6144 f^3) -   D^6 / (131072 f^5) - 5 D^8 / (14680064 f^7)
  z3  = -D^4 / (2048 f^3) - 9 D^6 / (655360 f^5) -   D^8 / ( 2097152 f^7)
  z0  = -D^4 / (3072 f^3) -   D^6 / (131072 f^5) -   D^8 / ( 4194304 f^7)

  oder  or

  z24 = -D (                                     1 / (58720256 N^7) )
  z15 = -D (                  1 / (655360 N^5) + 1 / ( 8388608 N^7) )
  z8  = -D ( 1 / (6144 N^3) + 1 / (131072 N^5) + 5 / (14680064 N^7) )
  z3  = -D ( 1 / (2048 N^3) + 9 / (655360 N^5) + 1 / ( 2097152 N^7) )
  z0  = -D ( 1 / (3072 N^3) + 1 / (131072 N^5) + 1 / ( 4194304 N^7) )

  mit N = f / D    (Öffnungsverhältnis) (focal ratio)

  Die Koeffizienten z0 und z3 werden nicht benötigt, weil sie von der Justierung zwischen Sphäre
  und Parabel abhängen. Mit den Koeffizienten z8, z15 und z24 wird rechnerisch eine Fläche erzeugt,
  die von der gemessenen Oberflächenform subtrahiert wird, um den wahren Oberfächen-Fehler der
  Parabel zu erhalten.
  The coefficients z0 and z3 are not required, because they depend on the adjustment between the sphere
  and the parabola. The coefficients z8, z15 and z24 can be used for generating an artificial surface
  which can be subtracted from the measured surface, so that the result is the surface error of the parabola. 

  Man beachte dass sich diese Zernike-Koeffizienten auf den Oberflächenfehler des Spiegels beziehen.
  Die Zernike-Koeffizienten für die Wellenfront sind doppelt so gross!
  Please note that these Zernike coefficients are for the surface error of the mirror.
  Multiply by 2 to get the Zernike coefficients for the wavefront.
 

  Wer Fehler findet möge mir das bitte sagen!
  If you find bugs, please let me know!

 

7. Abschätzung der Streifen-Dichte beim Test eines Parabol-Spiegels
gegen eine Transmissions-Sphäre mittels Phase Shift Interferometrie
7. Estimating the fringe density when testing a parabolic mirror against
a transmission sphere with a phase shifting Fizeau interferometer
 

Beim interferometrischen Test eines Parabolspiegels gegen eine Transmissions-Sphäre kann es passieren
dass die Streifen-Dichte zu gross wird, so dass die Kamera die Streifen nicht mehr auflösen kann.
When a parabolic mirror is tested against a transmission sphere, it's possible that the fringe density
becomes too big, so that the camera can't resolve the fringes any more.

Die Streifen-Dichte hängt direkt von der ersten Ableitung der Differenz zwischen Sphäre und Parabel ab.
Wir betrachten hier den Fall 3: Der Parabolspiegel wird so justiert dass die Streifen-Dichte in der
Mitte und bei der 86.6% Zone Null wird. Dies ist der optimale Fall, bei dem sich die kleinste Streifen-Dichte ergibt.
The fringe density depends directly on the first differential of the difference between the sphere and the
parabola. Let's regard case 3: The parabola is adjusted so that the fringe density becomes zero in the
middle and at the 86.6% zone. This is the best case with the smallest fringe density.

In diesem Fall ist die Reihendarstellung der ersten Ableitung der Differenz zwischen Sphäre und Parabel:
In this case this is the first differential of the difference between the sphere and the parabola as a series:

     r D^2   (    3 D^2      9 D^4       15 D^6         105 D^8           )
e' = ----- * ( - ------- + --------- - ----------- + -------------- - ... )
       4     (   256 f^3   65536 f^5   8388608 f^7   4294967296 f^9       )

       r^3 D^4   (  1     3 D^2      9 D^4       15 D^6         105 D^8           ) 3
     + ------- * ( --- - ------- + --------- - ----------- + -------------- - ... )   + ...
         32      ( 2 f   256 f^3   65536 f^5   8388608 f^7   4294967296 f^9       )

oder näherungsweise:

       3 r D^4    r^3 D^4
e' = - -------- + -------      (Näherung) (Approximation)
       1024 f^3   256 f^3

oder 

                       D^4 
e' = (4 r^3 - 3 r) * --------      (Näherung) (Approximation)
                     1024 f^3 

Diese Kurve hat zwei Extremwerte:  This curve has two extreme points:

Ein Maximum am Spiegelrand:   a maximum at the edge of the mirror:

e'(1) = D^4 / (1024 f^3)    (Näherung) (Approximation)

Und ein Minimum bei der 50% Zone:   and a minimum at the 50% zone:

e'(0.5) = -D^4 / (1024 f^3)    (Näherung) (Approximation)

Beide Extremwerte haben den gleichen Absolutbetrag, also ist die Streifen-Dichte an beiden Stellen gleich gross.
Both extremum points have the same absolute values, so the fringe density is equal at both points.

Der Abstand s zwischen zwei benachbarten Streifen wird so berechnet:
The distance s between two successive fringes is calculated by this formula:

    lambda * D
s = ----------
    4 * e'_max

  mit lambda = Licht-Wellenlänge, typischerweise 632.8nm  light wavelength, typical 632.8nm 
      e'_max = grösste Steigung der Differenz zwischen Sphäre und Parabel (im normierten Intervall [-1...1])
  biggest slope of difference between sphere and parabola

Für e'_max gilt: 

e'_max = D^4 / (1024 f^3)

und damit ergibt sich:

    256 lambda f^3
s = --------------
         D^3

oder

s = 256 lambda N^3
 

Der so ermittelte Abstand s zwischen zwei benachbarten Streifen muss jetzt mit dem Auflösungsvermögen der 
Kamera verglichen werden. Dabei kann man davon ausgehen dass der zu testende Spiegel mittels der im
Interferometer eingebauten Zoom-Optik formatfüllend abgebildet werden kann. Allerdings kann die horizontale 
Pixel-Anzahl nicht voll ausgenutzt werden weil das Video-Format 4:3 (horizontal:vertikal) ist.
Also ist die vertikale Auflösung entscheidend.
Ausserdem muss man beachten dass üblicherweise nur ein Halbbild verwendet wird, um Vibrations-Probleme
zu vermeiden die beim Interlace-Verfahren auftreten wenn zwei nacheinander aufgenommene Bilder verwendet
werden.
This distance s between two successive fringes must now be compared with the resolution of the camera.
We can assume that the mirror under test fills the whole field because there is a zoom optics in the
interferometer. But we can't use the full hozizontal resolution because the aspect ratio is 4:3 
(horizontal:vertical). The vertical resolution is the limit.
Normally only one half image is used, as to avoid vibration problems when using the full interlace image,
which consists of two pictures taken one after the other.

Der Abstand zwischen zwei benachbarten Streifen sollte nicht kleiner als 4 Pixel sein.
Das ist eine sehr konservative Annahme die zu einem guten Kontrast führt, denn der theoretische Grenzwert
ist 2 Pixel pro Streifen. Diese 4 Pixel entsprechen auf dem Spiegel dem Abstand s_min:
The distance between two successive fringes shouldn't be smaller than 4 pixels.
This is a very conservative value for good contrast, because the theoretical limit
is 2 pixels per fringe. On the mirror, these 4 pixels are equivalent to the distance s_min:

s_min = 4 D / n

mit D = Durchmesser des Spiegels   diameter of the mirror
    n = Anzahl der Video-Zeilen pro Halbbild, typischerweise ca. 240
  number of lines in a half video picture, typically about 240

Wenn man im Grenzfall s = s_min annimmt dann ergibt sich die minimal notwendige Zeilenzahl:
When we assume the limit case s = s_min then this formula gives us teh minimum requires number of lines:

         D^4
n = -------------
    64 lambda f^3

oder or

         D
n = -------------
    64 lambda N^3

mit N = f / D   (Öffnungsverhältnis)  (focal ratio)
 

Ein paar Beispiele für die benötigte Anzahl der Video-Zeilen:
A few examples for the number of required video lines:
 
N=2.5
@633nm
N=2.5
@1550nm
N=3
@633nm
N=3
@1550nm
N=3.5
@633nm
N=3.5
@1550nm
N=4
@633nm
N=4
@1550nm
N=4.5
@633nm
N=4.5
@1550nm
N=5
@633nm
N=5
@1550nm
N=6
@633nm
N=8
@633nm
D=100mm 158 65 91 37 58 24 39 16 27 11 20 8 11 5
D=150mm 237 97 137 56 86 35 58 24 41 17 30 12 17 7
D=200mm 316 * 129 183 75 115 47 77 32 54 22 40 16 23 10
D=250mm 395 * 161 229 93 144 59 96 39 68 28 49 20 29 12
D=300mm 474 * 194 274 * 112 173 71 116 47 81 33 59 24 34 14
D=350mm 553 * 226 320 * 131 202 82 135 55 95 39 69 28 40 17
D=400mm 632 * 258 * 366 * 149 230 94 154 63 108 44 79 32 46 39
D=450mm 711 * 290 * 412 * 168 259 * 106 174 71 122 50 89 36 51 43
D=500mm 790 * 323 * 457 * 187 288 * 118 193 79 135 55 99 40 57 48
D=600mm 948 * 387 * 549 * 224 346 * 141 231 95 163 66 119 48 69 58
D=700mm 1106 * 452 * 640 * 261 * 403 * 165 270 * 110 190 77 138 56 80 68
D=800mm 1264 * 516 * 732 * 299 * 461 * 188 309 * 126 217 88 158 65 91 77
D=1000mm 1580 * 645 * 915 * 373 * 576 * 235 386 * 158 271 * 111 198 81 114 96
D=1250mm 1975 * 806 * 1143 * 467 * 720 * 294 * 482 * 197 339 * 138 247 * 101 143 121

  Die mit * versehenen Zeilenzahlen kennzeichnen die Fälle in denen die Auflösung einer normalen
  Video-Kamera (240 pro Halbbild) nicht ausreicht. Mögliche Alternativen:
  -- Kamera mit höherer Auflösung nehmen
  -- Progressive-Scan Kamera (ohne Interlace)
  -- grössere Licht-Wellenlänge (z.B. 1550nm DFB Infrarot-Laser)
  -- Spiegel zonenweise testen und die Teilbereiche hinterher zusammensetzen
  -- Laser-Foucault-Test
  The numbers marked with * indicate the cases where the resolution of a normal video camera (240 lines)
  is not sufficient. Possible alternatives:
  -- camera with higher resolution
  -- progressive scan camera (without interlace)
  -- longer wavelength (for example 1550nm DFB infrared laser)
  -- testing zone by zone, stitching interferometry
  -- laser Foucault test
 

Ein Parabolspiegel kann interferometrisch gegen eine Transmissions-Sphäre geprüft werden, wenn die folgende
Bedingung erfüllt ist. Dabei wird die Anzahl der Video-Zeilen mit 240 angenommen:
A parabolic mirror can be tested interferometrically against a transmission sphere, if the following
condition is fulfilled. It's assumed the number of video lines is 240:

 D
--- < 9.72mm    (für lambda = 633nm)
N^3

oder

 D
--- < 23.8mm    (für lambda = 1550nm)
N^3
 
 

Welches ist der optimale Fall mit der kleinsten Streifen-Dichte?
What's the best case with the lowest fringe density?

When testing a parabolic mirror against a transmission sphere, the resulting interferogram (which represents the difference between the sphere and the parabola) contains mainly the Z3 (focus) polynomial and the Z8 (spherical aberration) polynomial:

e = Z3 (2 r^2 - 1) + Z8 (6 r^4 - 6 r^2 + 1)

or

e = r^4 (6 Z8) + r^2 (-6 Z8 + 2 Z3) + (Z8 - Z3)

The coefficient Z3 varies when the interferometer is moved along the optical axis.
The coefficient Z8 is a constant for a given parabolic mirror.

The fringe density is proportional to the first differential of this function:

e' = r^3 (24 Z8) + r (-12 Z8 + 4 Z3)

It is obvious that the fringe density is always zero at r = 0, in the center of the mirror.
Typically this function has a minimum near the 50% zone, it becomes zero near the 86% zone, and it has a maximum at the edge of the mirror. For the best case with the lowest fringe density, the absolute values of the minimum and the maximum must be equal.
To find the minimum, we must calculate the second differential and set it to zero:

e" = r^2 (72 Z8) + 1 (-12 Z8 + 4 Z3) = 0

The solution is:

         (  1       Z3   )
r1 = sqrt( --- - ------- )
         (  6     18 Z8  )

Now we must calculate the values of e' for the maximum at r = 1 and for the minimum at r = r1 :

e'(1) = 12 Z8 + 4 Z3

         ( 8 Z3        )       (  1       Z3   )
e'(r1) = ( ---- - 8 Z8 ) * sqrt( --- - ------- )
         (  3          )       (  6     18 Z8  )

After setting e'(1) = -e'(r1) and numerically solving the equation, we get:

Z3 = -1.5 Z8

Let's check this:

e'(1) = 12 Z8 + 4 Z3 = 12 Z8 - 6 Z8 = 6 Z8

e'(r1) = ... = -6 Z8

it's correct!

************************
*     Z3 = -1.5 Z8     *
************************
 

Next question: Which zone has zero fringe density?

e' = r^3 (24 Z8) + r (-12 Z8 + 4 Z3) = 0

One solution is r = 0, so we can divide the equation by r:

r^2 (24 Z8) + (-12 Z8 + 4 Z3) = 0

And the solution is:

********************************
*   r = sqrt(3/4) = 0.866...   *
********************************
 

Next question: Which zone has the biggest fringe density (besides the edge of the mirror)?

         (  1       Z3   )
r1 = sqrt( --- - ------- )
         (  6     18 Z8  )

with  Z3 = -1.5 Z8

The solution is:

***************************
*   r1 = 0.5              *
***************************
 

Next question: What's the formula for the fringe density?

e' = r^3 (24 Z8) + r (-12 Z8 + 4 Z3)

with  Z3 = -1.5 Z8

The fringe density is proportional to this formula:

e' = 6 Z8 (4 r^3 - 3 r)

and the difference e between sphere and parabola is proportional to:

e = 3 Z8 (2 r^4 - 3 r^2 + c)
 
 

Wer Fehler findet möge mir das bitte sagen!
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8. Abschätzung der Streifen-Dichte beim Test eines Parabol-Spiegels
gegen eine Transmissions-Sphäre mittels statischer Interferometrie
8. Estimating the fringe density when testing a parabolic mirror against
a transmission sphere with static interferometry

Bei statischer Interferometrie muss der zu testende Spiegel so weit verkippt werden, dass keine geschlossenen Ringe im Interferogramm auftauchen.

Die Streifen-Dichte hängt direkt von der ersten Ableitung der Differenz zwischen Sphäre und Parabel ab.
Wir betrachten hier zunächst den Fall 1: Die Parabel berührt die Sphäre in der Mitte und hat in diesem Punkt den gleichen Krümmungsradius.

In diesem Fall ist die Reihendarstellung der ersten Ableitung der Differenz zwischen Sphäre und Parabel:

         x^3     3 x^5      5 x^7
  e' = ------ + ------- + -------- + ... 
       16 f^3   256 f^5   2048 f^7 

  mit f = Brennweite der Parabel  focal length of the parabola
      x = Koordinate in radialer Richtung  coordinate in radial direction

In diesem Fall ist es sinnvoll die radiale Koordinate x auf den Bereich [0..1] zu normieren, die neue Variable r ist 0 auf der optischen Achse und 1 am Rand des Spiegels:
In this case it makes sense to normalize the radial variable x into the range [0..1], the new variable r is 0 on the optical axis and 1 at the edge of the mirror:

  r = 2 x / D       bzw.  x = r D / 2

  mit D = Durchmesser des Spiegels  diameter of the mirror

Und so bekommen wir die folgende Reihendarstellung für die erste Ableitung der Differenz zwischen Sphäre und Parabel:

       r^3 D^3   3 r^5 D^5   5 r^7 D^7 
  e' = ------- + --------- + ---------- + ...
       128 f^3    8192 f^5   262144 f^7 

und mit der Definition für das Öffnungsverhältnis N = f / D vereinfacht sich die Reihe zu:

         r^3      3 r^5       5 r^7 
  e' = ------- + -------- + ---------- + ... 
       128 N^3   8192 N^5   262144 N^7 

Die Extremwerte dieser Kurve liegen am Rand des Spiegels, bei r = -1 und bei r = 1

Statische Interferometrie erfordert dass der Spiegel soweit verkippt wird, dass diese Kurve monoton steigend ist.
Also müssen wir die grösste negative Steigung bei r = -1 berechnen, und diesen Wert von der gesamten Kurve subtrahieren.

                 -1         -3          -5
  e'(r = -1) = ------- + -------- + ---------- + ... 
               128 N^3   8192 N^5   262144 N^7 

           1 + r^3   3 (1 + r^5)   5 (1 + r^7) 
  e'tilt = ------- + ----------- + ----------- + ... 
           128 N^3    8192 N^5     262144 N^7 

Das Maximum dieser Kurve liegt bei r = 1:

            1          3          5 
  e'max = ------ + -------- + ---------- + ... 
          64 N^3   4096 N^5   131072 N^7 

Der Abstand s zwischen zwei benachbarten Streifen wird so berechnet:
The distance s between two successive fringes is calculated by this formula:

       lambda
  s = -------- 
      2 e'_max

  mit lambda = Licht-Wellenlänge, typischerweise 632.8nm  light wavelength, typical 632.8nm 
      e'_max = grösste Steigung der Differenz zwischen Sphäre und Parabel
  biggest slope of difference between sphere and parabola

Für e'_max gilt näherungsweise: 

  e'_max = D^3 / (64 f^3)

und damit ergibt sich:

      32 lambda f^3
  s = -------------
           D^3

  Der so ermittelte Abstand s zwischen zwei benachbarten Streifen muss jetzt mit dem Auflösungsvermögen der 
  Kamera verglichen werden. Dabei kann man davon ausgehen dass der zu testende Spiegel mittels der im
  Interferometer eingebauten Zoom-Optik formatfüllend abgebildet werden kann. Allerdings kann die horizontale 
  Pixel-Anzahl nicht voll ausgenutzt werden weil das Video-Format 4:3 (horizontal:vertikal) ist.
  Also ist die vertikale Auflösung entscheidend.
  Ausserdem muss man beachten dass üblicherweise nur ein Halbbild verwendet wird, um Vibrations-Probleme
  zu vermeiden die beim Interlace-Verfahren auftreten wenn zwei nacheinander aufgenommene Bilder verwendet
  werden.
  This distance s between two successive fringes must now be compared with the resolution of the camera.
  We can assume that the mirror under test fills the whole field because there is a zoom optics in the
  interferometer. But we can't use the full hozizontal resolution because the aspect ratio is 4:3 
  (horizontal:vertical). The vertical resolution is the limit.
  Normally only one half image is used, as to avoid vibration problems when using the full interlace image,
  which consists of two pictures taken one after the other.

  Der Abstand zwischen zwei benachbarten Streifen sollte nicht kleiner als 4 Pixel sein.
  Das ist eine sehr konservative Annahme die zu einem guten Kontrast führt, denn der
  theoretische Grenzwert ist 2 Pixel pro Streifen. Diese 4 Pixel entsprechen auf dem
  Spiegel dem Abstand s_min:
  The distance between two successive fringes shouldn't be smaller than 4 pixels.
  This is a very conservative value for good contrast, because the theoretical limit
  is 2 pixels per fringe. On the mirror, these 4 pixels are equivalent to the distance s_min:

  s_min = 4 D / n

  mit D = Durchmesser des Spiegels   diameter of the mirror
      n = Anzahl der Video-Zeilen pro Halbbild, typischerweise ca. 240
  number of lines in a half video picture, typically about 240

  Wenn man im Grenzfall s = s_min annimmt dann ergibt sich die minimal notwendige Zeilenzahl:
  When we assume the limit case s = s_min then this formula gives us teh minimum requires number of lines:

          D^4
  n = ------------
      8 lambda f^3

  oder  or

           D
  n = ------------
      8 lambda N^3

  mit N = f / D   (Öffnungsverhältnis)  (focal ratio)
 

--> Die benötigte Anzahl der Video-Zeilen ist 8 mal so gross wie bei Phase Shift Interferometrie !
 

Ein Parabolspiegel kann mit statischer Interferometrie geprüft werden, wenn die Bedingung
A parabolic mirror can be tested with static interferometry, if the condition

   D
  --- < 1.21mm
  N^3

  erfüllt ist. Dabei wird die Anzahl der Video-Zeilen mit 240 angenommen, und die Wellenlänge ist 633nm.
  is fulfilled. It's assumed the number of video lines is 240 and the wavelength is 633nm.
 

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9. Fehler durch Temperatur-Schichtung in der Luft
  Errors due to Temperature Gradient in the Air

Zusammenhang zwischen Luft-Temperatur und Brechungsindex:
Relationship between air temperature, pressure and index of refraction:

n = 1 + 0.000293246 (273.15K / T) (p / 1013hPa)

mit n = Brechungsindex   Index of refraction
    T = Temperatur in Kelvin   Temperature in Kelvin
    p = Luftdruck   Air pressure

oder: or:

n = 1 + 0.0801K / T
 

Die oben genannte Formel ist nur eine Näherung. Der folgende Online-Kalkulator liefert genauere Werte:
The above formula is only an approximation. The following online calculator gives better results:

http://emtoolbox.nist.gov/Wavelength/Edlen.asp
 

Bei einer gleichmässigen Temperaturschichtung hängt die Temperatur linear von der Höhe ab:
Assuming there is a constant gradient, the relationship between temperature and height is linear:

T = T0 + y * (dT/dy)

wobei (dT / dy) eine Konstante ist.
where (dT / dy) is a constant.

Der Gradient des Brechungsindex ist dann:
The index gradient is:

        -0.0801K * (dT/dy)
dn/dy = ------------------- 
        (T0 + y * (dT/dy))2

und wenn die Temperaturdifferenz klein gegenüber der Temperatur ist, dann vereinfacht sich die Formel zu:
and if the temperature difference is small with respect to the temperature, the formula simplifies to:

        -0.0801K * (dT/dy)
dn/dy = ------------------    (Näherung) (Approximation)
              T02

Der Brechungsindex-Gradient bewirkt eine Krümmung des Lichtstrahls in Richtung zum optisch dichteren Medium hin:
The index gradient bends the light ray towards the denser medium:

r = n / n'

mit r = Krümmungsradius  Radius of curvature
   n = lokaler Brechungsindex der Luft, 1.000293246 bei 273.15K
  local index of refraction, 1.000293246 at 273.15K
    n' = lokaler Gradient des Brechungsindex senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung des Lichtstrahls
         local index gradient, perpendicular to the light beam

         n * T02
r = ------------------
    -0.0801K * (dT/dy)
 

Ein Beispiel um die Grössenordnung zu zeigen:
An example to show the order of magnitude:

T0 = 293.15K     (Raumtemperatur 20°C)
dT/dy = 5 K/m    (Temperaturdifferenz 1K auf 20cm Höhenunterschied)

          n * T02        1.000293246 * (293.15K)2
r = ------------------ = ------------------------ = -214637 m
    -0.0801K * (dT/dy)       -0.0801K * 5 K/m
 
 

Noch ein Beispiel:
Another example:

T0 = 293.15K       (Raumtemperatur 20°C)
dT/dy = 0.4 K/m    (Temperaturdifferenz 0.2K auf 50cm Höhenunterschied, gemessen im Testraum)

         n * T02         1.000293246 * (293.15K)2
r = ------------------ = ------------------------ = -2683 km
    -0.0801K * (dT/dy)      -0.0801K * 0.4 K/m
 
 
 

Thanks to Dave Schaack who did simulate the following two examples with ZEMAX:

A spherical mirror (d=500mm, f=2000mm) is tested from the center of curvature with an interferometer, with horizontal optical axis. The focal point of the transmission sphere is assumed to be a perfect point source. ZEMAX calculates the wavefront error when the wave comes back to this point.

The first simulation is for a constant temperature gradient without nonlinearity:

"I decided to use 3.8e-7 per meter as a gradient. Double passing through the gradient from and to a point object gives coma, not astigmatism!  About 1/200 wave peak to valley. ...
I forgot to mention that the image of the point source is shifted 6 microns due to the gradient."

The second simulation is for the same mirror, but now with a nonlinear temperature gradient:
293.00K at -250mm, 293.13K at 0mm and 293.20K at +250mm. This is the smallest nonlinearity that I could measure with 3 PT100 sensors.
The result is about 0.07 waves PV of astigmatism.

"For documentation purposes, the ZEMAX Gradient 4 surface uses this equation:
n = n0 + nx1*x + nx2*x^2 + ny1*y + ny2*y^2 + nz1*z + nz2*z^2
I modeled the system using units of mm.  In ZEMAX, standard practice is to 
always express the index of refraction with respect to air.  Thus the 
leading coefficient is 1.  The coefficients for the attached results are 
all zero except:
n0 = 1.0000
ny1 = 3.839e-10 (a change from yesterday, when it was 3.8)
ny2 = 4.6387e-13 

Nominal case is 250 mm semidiameter (SD), 4000 mm radius, Ny2 = 4.6387e-13.
OPD error for marginal rays:
 
Case OPD +Y OPD -Y Astigmatism PV Coma PV
Nominal -.071335 -.068611 -0.069973 0.002724
SD 125 -.017720 -.017380 -0.017550 0.000340
SD 500 -.287603 -.265958 -0.276780 0.021645
Rad 2000 -.037251 -.031840 -0.034545 0.005411
Rad 8000 -.141080 -.139717 -0.140398 0.001363
Ny2*2 -.141345 -.138621 -0.139983 0.002724
Ny2/2 -.036330 -.033606 -0.034968 0.002724

From the first 3 cases, it is clear that the astigmatism goes as the 
square of the aperture, and the coma goes as the cube. "
 
 

Wie kann der entstehende Astigmatismus für Spiegel mit anderen Abmessungen abgeschätzt werden?
How can the amount of astigmatism be estimated for mirrors with other dimensions?

ASTI = D2 * f * NL * 1282 / L

mit ASTI = Astigmatismus in waves peak to valley in der gemessenen Wellenfront, bei 550nm 
  Astigmatism in waves peak to valley in the measured wavefront, at 550nm
    D = Spiegeldurchmesser in m   Mirror diameter in m
    f = Brennweite in m           Focal length in m
   L = Wellenlänge in nm         Wavelength in nm
    NL = Nichtlinearität im vertikalen Temperaturprofil, definiert als T2 - (T1+T3) / 2
  Nonlinearity in the vertical temperature profile, defined as T2 - (T1+T3) / 2
    T1 = Temperatur in Kelvin bei Höhe 0mm     Temperature in Kelvin at height 0mm
    T2 = Temperatur in Kelvin bei Höhe 250mm   Temperature in Kelvin at height 250mm
    T3 = Temperatur in Kelvin bei Höhe 500mm   Temperature in Kelvin at height 500mm

Man beachte: die drei Höhen sind fest vorgegeben, und der Durchmesser des Spiegels kann anders sein!
Please note: These three heights are fixed, and the mirror diameter can be different!
 

10. Asphären-Test durch Zusammensetzen mehrerer Interferogramme
Asphere Testing by Stitching Interferometry
 

Exakte Lösung:   Exact Solution:

OPD = sqrt((R + dR)2 - c2 x2) - sqrt(R2 - x2)

mit x = radiale Variable  Variable in radial direction
    R = Kümmungsradius    Radius of curvature
    dR = Änderung des Krümmungsradius, entspricht der Verschiebung des Interferometers
   Change of radius of curvature, equivalent to movement of interferometer
 

Dabei ist c eine Konstante welche die Massstabs-Änderung des Interferogramms beschreibt. Wenn der Abstand zwischen Interferometer und Spiegel um dR vergrössert wird, dann wird der Durchmesser des Interferogramms etwas kleiner.
Wenn jedes Interferogramm vor dem Zusammensetzen auf den gleichen Durchmesser gebracht wird, dann ist c = 1.
Wenn das nicht gemacht wird, dann ist c = R / (R + dR)
Here c is a constant which describes the change of the scale of the interferogram. If the distance between the interferometer and the mirror is increased by dR, the diameter of the interferogram becomes a little smaller.
If each interferogram is scaled to the same diameter prior to analysis, then c = 1.
If the interferograms are not scaled to the same diameter, then c = R / (R + dR)

Wenn die radiale Variable auf den halben Durchmesser normiert wird dann sieht es so aus:
If the radial variable is normalized to the half diameter of the interferogram, then we get:

r = 2x / D     x = r D/2

OPD = sqrt((R + dR)2 - c2 r2 D2 / 4) - sqrt(R2 - r2 D2 / 4)

Das ist die theoretisch zu erwartende OPD, wenn der Abstand zwischen Spiegel und Transmissions-Sphäre um dR vergrössert wird.
This is the theoretically expected OPD, if the distance between the mirror and the interferometer is increased by dR.
 
 

Näherungslösung mit Reihenentwicklung:   Approximation with power series:

Eine Sphäre als Reihenentwicklung:  A sphere as a power series:

    x^2    x^4     x^6      5 x^8     7 x^10    21 x^12
y = --- + ----- + ------ + ------- + ------- + --------- + ... 
    2 R   8 R^3   16 R^5   128 R^7   256 R^9   1024 R^11

  mit R = Krümmungsradius der Sphäre  Sphere's radius of curvature
      x = Koordinate in radialer Richtung  coordinate in radial direction

oder mit x = r D/2 

    r^2 D^2   r^4 D^4   r^6 D^6    5 r^8 D^8 
y = ------- + ------- + -------- + --------- + ... 
      8 R     128 R^3   1024 R^5   32768 R^7 

Hierbei r die normierte radiale Variable in Bereich [0..1]
Here r is the normalized radial variable in the range [0..1]
 

Betrachten wir jetzt die Differenz zweier Sphären mit den Krümmungsradien (R+dR) und R:
Now we calculate the difference between two spheres with radii of curvature (R+dR) and R:

      c^2 r^2 D^2   r^2 D^2   c^4 r^4 D^4    r^4 D^4    c^6 r^6 D^6    r^6 D^6
OPD = ----------- - ------- + ------------ - ------- + ------------- - -------- + ... 
       8 (R+dR)       8 R     128 (R+dR)^3   128 R^3   1024 (R+dR)^5   1024 R^5 

oder or

          ( c^2 D^2    D^2 )       (   c^4 D^4        D^4   )       (    c^6 D^6        D^6    ) 
OPD = r^2 ( -------- - --- ) + r^4 ( ------------ - ------- ) + r^6 ( ------------- - -------- ) + ... 
          ( 8 (R+dR)   8 R )       ( 128 (R+dR)^3   128 R^3 )       ( 1024 (R+dR)^5   1024 R^5 )

oder mit c = R / (R+dR):    (Sonderfall c = 1 siehe weiter unten)
or with c = R / (R+dR):     (special case c = 1 see below)

          (  R^2 D^2     D^2 )       (   R^4 D^4        D^4   )       (    R^6 D^6         D^6    ) 
OPD = r^2 ( ---------- - --- ) + r^4 ( ------------ - ------- ) + r^6 ( -------------- - -------- ) + ... 
          ( 8 (R+dR)^3   8 R )       ( 128 (R+dR)^7   128 R^3 )       ( 1024 (R+dR)^11   1024 R^5 )

oder or

OPD = c2 r^2 + c4 r^4 + c6 r^6 + ...

mit with

      R^2 D^2     D^2         R^3 - (R+dR)^3
c2 = ---------- - ---   = D^2 --------------
     8 (R+dR)^3   8 R          8 R (R+dR)^3

       R^4 D^4        D^4            R^7 - (R+dR)^7
c4 = ------------ - -------   = D^4 ----------------
     128 (R+dR)^7   128 R^3         128 R^3 (R+dR)^7

        R^6 D^6         D^6             R^11 - (R+dR)^11
c6 = -------------- - --------   = D^6 ------------------
     1024 (R+dR)^11   1024 R^5         1024 R^5 (R+dR)^11

Diese Koeffizienten sollen nun in Zernike-Koeffizienten ungerechnet werden.
These coefficients shall now be converted into Zernike coefficients.
 

Offensichtlich sind hier nur die Winkel-unabhängigen Zernike-Polynome von Interesse:
Obviously we need only the angle-independant Zernike polynomials in this case:

P0  =  1               constant
P3  = -1 +  2 r^2         focus
P8  =  1 -  6 r^2 +  6 r^4      spherical 3rd order 
P15 = -1 + 12 r^2 - 30 r^4 +  20 r^6      spherical 5th order

mit r = radiale Variable im Bereich [0..1]  radial variable in range [0..1]
 

Die Differenz e soll als gewichtete Summe dieser Polynome dargestellt werden:
The difference e shall be expressed as a weighted sum of these polynomials:

OPD = z0 P0 + z3 P3 + z8 P8 + z15 P15 

oder or

e = ( z0 -   z3 +   z8 -    z15 ) +
    (      2 z3 - 6 z8 + 12 z15 ) r^2 + 
    (             6 z8 - 30 z15 ) r^4 +
    (                    20 z15 ) r^6

wobei z0, z3, z8, z15 die gesuchten Zernike-Koeffizienten sind.
where z0, z3, z8, z15 are the unknown Zernike coefficients.

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich nun folgendes Gleichungssystem:
By comparing the coefficients we get this system of equations:

  z0 -   z3 +   z8 -    z15 = 0
       2 z3 - 6 z8 + 12 z15 = c2
              6 z8 - 30 z15 = c4
                     20 z15 = c6

und das Gleichungssystem wird jetzt schrittweise gelöst:
which will be solved now step by step:

  z15 = c6 / 20

  z0 -   z3 +   z8 =         z15
       2 z3 - 6 z8 = c2 - 12 z15
              6 z8 = c4 + 30 z15

  z8 = (c4 + 30 z15) / 6

  z0 -   z3 =         z15 -   z8
       2 z3 = c2 - 12 z15 + 6 z8

  z3 = (c2 -12 z15 + 6 z8) / 2

  z0 = z15 - z8 + z3
 

Zusammengefasst ergeben sich diese Formeln zur Berechnung der Zernike-Koeffizienten:
Summarized we have these formulas for the unknown Zernike coefficients:

  z15 = c6 / 20
  z8  = (c4 + 30 z15) / 6
  z3  = (c2 - 12 z15 + 6 z8) / 2
  z0  = z15 - z8 + z3

oder ineinander eingesetzt:  or:

  z15 =                   1/20 c6
  z8  =          1/6 c4 +  1/4 c6
  z3  = 1/2 c2 + 1/2 c4 + 9/20 c6
  z0  = 1/2 c2 + 1/3 c4 +  1/4 c6

Der Koeffizient z0 wird nicht benötigt.
We don't need the coefficient z0.

Mit den ursprünglichen Werten für c2, c4, c6 ergibt sich:
With the original values for c2, c4 and c6 we get:

           R^11 - (R+dR)^11
z15 = D^6 -------------------
          20480 R^5 (R+dR)^11

          R^7 - (R+dR)^7         R^11 - (R+dR)^11
z8 = D^4 ---------------- + D^6 ------------------
         768 R^3 (R+dR)^7       4096 R^5 (R+dR)^11

         R^3 - (R+dR)^3        R^7 - (R+dR)^7        9 (R^11 - (R+dR)^11)
z3 = D^2 -------------- + D^4 ---------------- + D^6 --------------------
         16 R (R+dR)^3        256 R^3 (R+dR)^7       20480 R^5 (R+dR)^11

Man beachte dass sich diese Zernike-Koeffizienten auf den Oberflächenfehler des Spiegels beziehen.
Die Zernike-Koeffizienten für die Wellenfront sind doppelt so gross!
Please note that these Zernike coefficients are for the surface error of the mirror.
Multiply by 2 to get the Zernike coefficients for the wavefront.
 

dz3     3 D^2
--- = - ------    ( Näherung !   Approximation ! )
dR      16 R^2

dz8      7 D^4
--- = - --------    ( Näherung !   Approximation ! )
dR      768 R^4

oder mit R / D = 2N
or with R / D = 2N

dz3   144 N^2
--- = ------- = 20.57 N^2    ( Näherung !   Approximation ! )
dz8      7
 
 
 
 

Sonderfall c = 1:    Special case c = 1:

Betrachten wir jetzt die Differenz zweier Sphären mit den Krümmungsradien (R+dR) und R:
Now we calculate the difference between two spheres with radii of curvature (R+dR) and R:
 

      r^2 D^2    r^2 D^2     r^4 D^4      r^4 D^4      r^6 D^6      r^6 D^6
OPD = -------- - ------- + ------------ - ------- + ------------- - -------- + ... 
      8 (R+dR)     8 R     128 (R+dR)^3   128 R^3   1024 (R+dR)^5   1024 R^5 

oder or

          (   D^2      D^2 )       (     D^4          D^4   )       (      D^6          D^6    ) 
OPD = r^2 ( -------- - --- ) + r^4 ( ------------ - ------- ) + r^6 ( ------------- - -------- ) + ... 
          ( 8 (R+dR)   8 R )       ( 128 (R+dR)^3   128 R^3 )       ( 1024 (R+dR)^5   1024 R^5 )

oder or

OPD = c2 r^2 + c4 r^4 + c6 r^6 + ...

mit with

        D^2     D^2            -dR
c2 = -------- - ---   = D^2 ----------
     8 (R+dR)   8 R         8 R (R+dR)

         D^4          D^4           -3 R^2 dR - 3 R dR^2 - dR^3
c4 = ------------ - -------   = D^4 ---------------------------
     128 (R+dR)^3   128 R^3              128 R^3 (R+dR)^3

          D^6          D^6            -5 R^4 dR -10 R^3 dR^2 - 10 R^2 dR^3 - 5 R dR^4 - dR^5
c6 = ------------- - --------   = D^6 ------------------------------------------------------
     1024 (R+dR)^5   1024 R^5                           1024 R^5 (R+dR)^5

Diese Koeffizienten sollen nun in Zernike-Koeffizienten ungerechnet werden.
These coefficients shall now be converted into Zernike coefficients.

Offensichtlich sind hier nur die Winkel-unabhängigen Zernike-Polynome von Interesse:
Obviously we need only the angle-independant Zernike polynomials in this case:

P0  =  1               constant
P3  = -1 +  2 r^2         focus
P8  =  1 -  6 r^2 +  6 r^4      spherical 3rd order
P15 = -1 + 12 r^2 - 30 r^4 +  20 r^6      spherical 5th order

mit r = radiale Variable im Bereich [0..1]  radial variable in range [0..1]
 

Die Differenz e soll als gewichtete Summe dieser Polynome dargestellt werden:
The difference e shall be expressed as a weighted sum of these polynomials:

OPD = z0 P0 + z3 P3 + z8 P8 + z15 P15 

oder or

e = ( z0 -   z3 +   z8 -    z15 ) +
    (      2 z3 - 6 z8 + 12 z15 ) r^2 + 
    (             6 z8 - 30 z15 ) r^4 +
    (                    20 z15 ) r^6

wobei z0, z3, z8, z15 die gesuchten Zernike-Koeffizienten sind.
where z0, z3, z8, z15 are the unknown Zernike coefficients.

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich nun folgendes Gleichungssystem:
By comparing the coefficients we get this system of equations:

  z0 -   z3 +   z8 -    z15 = 0
       2 z3 - 6 z8 + 12 z15 = c2
              6 z8 - 30 z15 = c4
                     20 z15 = c6

und das Gleichungssystem wird jetzt schrittweise gelöst:
which will be solved now step by step:

  z15 = c6 / 20

  z0 -   z3 +   z8 =         z15
       2 z3 - 6 z8 = c2 - 12 z15
              6 z8 = c4 + 30 z15

  z8 = (c4 + 30 z15) / 6

  z0 -   z3 =         z15 -   z8
       2 z3 = c2 - 12 z15 + 6 z8

  z3 = (c2 -12 z15 + 6 z8) / 2

  z0 = z15 - z8 + z3
 

Zusammengefasst ergeben sich diese Formeln zur Berechnung der Zernike-Koeffizienten:
Summarized we have these formulas for the unknown Zernike coefficients:

  z15 = c6 / 20
  z8  = (c4 + 30 z15) / 6
  z3  = (c2 - 12 z15 + 6 z8) / 2
  z0  = z15 - z8 + z3

oder ineinander eingesetzt:  or:

  z15 =                   1/20 c6
  z8  =          1/6 c4 +  1/4 c6
  z3  = 1/2 c2 + 1/2 c4 + 9/20 c6
  z0  = 1/2 c2 + 1/3 c4 +  1/4 c6

Der Koeffizient z0 wird nicht benötigt.
We don't need the coefficient z0.

mit den ursprünglichen Werten für c4, c6, c8 ergibt sich:
with the original values for c4, c6 and c8 we get:

          -5 R^4 dR -10 R^3 dR^2 - 10 R^2 dR^3 - 5 R dR^4 - dR^5
z15 = D^6 ------------------------------------------------------
                           20480 R^5 (R+dR)^5

         -3 R^2 dR - 3 R dR^2 - dR^3   -5 R^4 dR -10 R^3 dR^2 - 10 R^2 dR^3 - 5 R dR^4 - dR^5
z8 = D^4 --------------------------- + ------------------------------------------------------
               768 R^3 (R+dR)^3                         4096 R^5 (R+dR)^5

            -dR            -3 R^2 dR - 3 R dR^2 - dR^3       9( -5 R^4 dR -10 R^3 dR^2 - 10 R^2 dR^3 - 5 R dR^4 - dR^5)
z3 = D^2 ----------- + D^4 --------------------------- + D^6 ----------------------------------------------------------
         16 R (R+dR)             256 R^3 (R+dR)^3                             20480 R^5 (R+dR)^5

Man beachte dass sich diese Zernike-Koeffizienten auf den Oberflächenfehler des Spiegels beziehen.
Die Zernike-Koeffizienten für die Wellenfront sind doppelt so gross!
Please note that these Zernike coefficients are for the surface error of the mirror.
Multiply by 2 to get the Zernike coefficients for the wavefront.
 

dz3      D^2
--- = - ------    ( Näherung, für Spiegel-Oberfläche !   Approximation for mirror surface! )
dR      16 R^2

dz8       D^4
--- = - -------    ( Näherung, für Spiegel-Oberfläche !   Approximation for mirror surface! )
dR      256 R^4

dz3   16 R^2
--- = ------    ( Näherung !   Approximation ! )
dz8   D^2

oder mit R / D = 2N
or with R / D = 2N

dz3 
--- = 64 N^2    ( Näherung !   Approximation ! )
dz8 

dR      16 R^2
--- = - ------    ( Näherung, für Spiegel-Oberfläche !   Approximation for mirror surface! )
dz3      D^2

dR
--- = - 64 N^2     ( Näherung, für Spiegel-Oberfläche !   Approximation for mirror surface! )
dz3 

dR
--- = - 32 N^2     ( Näherung, für Wellenfront !   Approximation for wavefront! )
dz3 

dR
--- = - 4096 N^4     ( Näherung, für Spiegel-Oberfläche !   Approximation for mirror surface! )
dz8 

dR
--- = - 2048 N^4      ( Näherung, für Wellenfront !  Approximation for wavefront! )
dz8 
 

Wer Fehler findet möge mir das bitte sagen!
If you find bugs, please let me know!
 

11. Teststand-Fehler     Test Stand Aberrations

Da Hohlspiegel meist mit horizontal liegender optischer Achse getestet werden kann es sein dass sich der Spiegel unter seinem eigenen Gewicht verformt, weil die Vorderseite ausgehöhlt ist und die Rückseite flach ist.
Dadurch wird im wesentlichen Astigmatismus erzeugt. Dieser Teststand-Astigmatismus kann quantifiziert werden, indem man mehrere Messungen macht, wobei man den Spiegel im Teststand verdreht.

Betrachten wir zunächst einmal die ersten 9 Zernike-Polynome:

z[0] = 1                           constant
z[1] = r * cos(t)                  tilt
z[2] = r * sin(t)                  tilt
z[3] = 2 * r^2 - 1                 focus
z[4] = (r^2) * cos(2*t)            astigmatism 3rd order
z[5] = (r^2) * sin(2*t)            astigmatism 3rd order
z[6] = (3 * r^3 - 2 * r) * cos(t)  coma 3rd order
z[7] = (3 * r^3 - 2 * r) * sin(t)  coma 3rd order
z[8] = 6 * r^4 - 6 * r^2 + 1       spherical 3rd order 

r ist die radiale Variable im Bereich [0..1], 0 auf der optischen Achse, 1 am Spiegelrand
r is the radial variable in the range [0..1], 0 on the optical axis, 1 at the edge
t ist die Winkel-Variable, Richtung im Uhrzeigersinn mit Nullpunkt oben, also t = arctan (x/y) 
t is the angular variable, direction clockwise, zero is on the top, t = arctan (x/y)

Achtung, der Nullpunkt und die Drehrichtung ist NICHT bei allen Software-Programmen so definiert!
Manche Programme verwenden die andere Definition t = arctan(y/x) . Das hat aber keine Auswirkungen auf die folgenden Betrachtungen.

Die Terme Z0, Z1 und Z2 interessieren uns hier nicht, weil sie sowieso abgezogen werden können.
Die Terme Z5 und Z7 haben keine links/rechts Symmetrie und können daher durch einen symmetrischen Teststenad nicht verursacht werden.
Die Terme Z3 und Z8 sind rotationssymmetrisch und können daher nicht durch Verdrehen des Spiegels beeinflusst werden.
Also bleiben nur Z4 und Z6 übrig.
 

Fall 1: Bestimmund des Teststand-Astigmatismus

Der Teststand-Astigmatismus sollte sich theoretisch nur im Polynom Z4 bemerkbar machen, und zwar so dass der Wert von Z4 unabhängig vom Drehwinkel immer um einen bestimmten Betrag zu gross (oder zu klein) gemessen wird. 

z4_m = z4_sp + z4_ts

mit  z4_m  = gemessener Wert z4
     z4_sp = wahrer z4 Koeffizient des Spiegels
     z4_ts = Teststand-Astigmatismus, konstant

Der andere (um 45 Grad verdrehte) Astigmatismus-Koeffizient z5 wird hingegen NICHT vom Teststand-Astigmatismus beeinflusst. Begründung: Teststand-Astigmatismus muss spiegelsymmetrisch zur vertikalen (y) Achse sein, aber die Sinusfunktion in z[5] ist nicht spiegelsymmetrisch zu dieser Achse.

Es werden zwei Messungen gemacht. Bei der zweiten Messung wird der Spiegel um genau 90 Grad gedreht. Die Drehrichtung ist egal. Bei einer Drehung um 90 Grad wechseln sowohl z4_sp wie auch z5_sp das Vorzeichen. Bei einer Drehung um 180 Grad würde sich an den Koeffizienten Z4 und Z5 gar nichts ändern.

Erste Messung:
z4_m0  = z4_sp + z4_ts
z5_m0  = z5_sp

Zweite Messung, Spiegel um 90 Grad verdreht:
z4_m90 = -z4_sp + z4_ts
z5_m90 = -z5_sp
 

Wir haben 4 Gleichungen mit 3 Unbekannten, also kann man z4_sp, z4_ts und z5_sp berechnen:

Teststand-Astigmatismus:   z4_ts = (z4_m0 + z4_m90) / 2

Wahrer Zernike-Koeffizient z4 des Spiegels:   z4_sp = (z4_m0 - z4_m90) / 2
 

Die beiden Messungen von z5 sollten eigentlich bis auf das Vorzeichen übereinstimmen. Zur Verbesserung der Messgenauigkeit kann man den Mittelwert bilden:

z5_sp = (z5_m0 - z5_m90 ) / 2
 

Der Betrag des Spiegel-Astigmatismus ergibt sich dann zu:

AST = sqrt( z4_sp^2 + z5_sp^2 )

Um diesen Wert in Peak to Valley (PV) umzurechnen, muss man noch mit dem Faktor 2 multiplizieren.
Begründung: Das Zernike-Polynom für Astigmatismus ist z[4] = r^2 * cos(2 * winkel), das Minimum dieser Funktion ist -1 und das Maximum ist +1, daher der Faktor 2 um auf den PV Wert zu kommen.
 

Fall 2: Bestimmung der Teststand-Coma

Die Teststand-Coma sollte sich theoretisch nur in z6 bemerkbar machen, und zwar so dass der Wert von z6 unabhängig vom Drehwinkel immer um einen bestimmten Betrag zu gross (oder zu klein) gemessen wird. 

z6_m = z6_sp + z6_ts

mit  z6_m  = gemessener Wert z6
     z6_sp = wahrer z6 Koeffizient des Spiegels
     z6_ts = Teststand-Coma, konstant

Der andere (um 90 Grad verdrehte) Coma-Koeffizient z7 wird hingegen NICHT von der Teststand-Coma beeinflusst. Begründung: Teststand-Coma muss spiegelsymmetrisch zur vertikalen (y) Achse sein, aber die Sinusfunktion in z[7] ist nicht spiegelsymmetrisch zu dieser Achse.

Es werden zwei Messungen gemacht. Bei der zweiten Messung wird der Spiegel um genau 180 Grad gedreht, wobei z6_sp und z7_sp das Vorzeichen wechseln, wegen sin(x) = -sin(x+pi) 

Erste Messung:
z6_m0  = z6_sp + z6_ts
z7_m0  = z7_sp

Zweite Messung, Spiegel um 180 Grad verdreht:
z6_m180 = -z6_sp + z6_ts
z7_m180 = -z7_sp

Wir haben 4 Gleichungen mit 3 Unbekannten, also kann man z6_sp und z6_ts berechnen:

Teststand-Astigmatismus:   z6_ts = (z6_m0 + z6_m180) / 2

Wahrer Zernike-Koeffizient z6 des Spiegels:   z6_sp = (z6_m0 - z6_m180) / 2

Die beiden Messungen von z7 sollten eigentlich bis auf das Vorzeichen übereinstimmen. Zur Verbesserung der Messgenauigkeit kann man den Mittelwert bilden:

z7_sp = (z7_m0 - z7_m180 ) / 2
 

Der Betrag der Spiegel-Coma ergibt sich dann zu:

COM = sqrt( z6_sp^2 + z7_sp^2 )

Um diesen Wert in Peak to Valley (PV) umzurechnen, muss man noch mit dem Faktor 2 multiplizieren.
Begründung: Das Zernike-Polynom für Coma ist z[6] = (3 * r^3 - 2 * r) * cos(winkel), das Minimum dieser Funktion ist -1 und das Maximum ist +1, daher der Faktor 2 um auf den PV Wert zu kommen.
 
 

The two Zernike polynomials for coma:
z[6] = (3 * r^3 - 2 * r) * cos(t) 
z[7] = (3 * r^3 - 2 * r) * sin(t) 

The measured coma coefficients (z6_m, z7_m) consist of two parts, one from the mirror (z6_mi, z7_mi) and one from the test stand (z6_ts, z7_ts):
z6_m = z6_mi + z6_ts 
z7_m = z7_mi + z7_ts 

If the mirror is turned 180 degrees, the mirror's coma coefficients will change sign, because sin(x) = -sin(x+pi)

In the first measurement (at 0 degrees), we measure:
z6_m0  = z6_mi + z6_ts 
z7_m0  = z7_mi + z7_ts 

In the second measurement (at 180 degrees), we measure:
z6_m180 = -z6_mi + z6_ts 
z7_m180 = -z7_mi + z7_ts

Now we have 4 equations with 4 unknowns. The solution is:
z6_ts = (z6_m0 + z6_m180) / 2 
z7_ts = (z7_m0 + z7_m180) / 2
z6_mi = (z6_m0 - z6_m180) / 2
z7_mi = (z7_m0 - z7_m180) / 2 

The same algorithm can be uesed for all other Zernike terms too (except the spherical terms of course). If the polynomial contains sin(n*t) or cos(n*t), the required rotation angle is (180/n) degrees.
 

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12. Ritchey-Common Test

Die folgende Bedingung ergibt sich aus dem Strahlensatz, wenn man den Messaufbau von der Seite betrachtet:

 D_SP      R
------ >= ---
 D_FL      A

mit D_SP = Durchmesser der Sphäre
    D_FL = Durchmesser der Planfläche
    R    = Krümmungsradius der Sphäre
    A    = Abstand vom Krümmungsmittelpunkt zur Mitte der Planfläche

daraus ergeben sich folgende Relationen:

D_SP >= D_FL * R / A    d.h. die Sphäre muss einen gewissen Mindest-Durchmesser haben

D_FL <= D_SP * A / R    d.h. der Durchmesser der Planfläche darf eine gewisse Grösse nicht überschreiten

A >= R * D_FL / D_SP    d.h. der Abstand vom Krümmungsmittelpunkt zur Mitte der Planfläche darf nicht zu klein sein.
 

Wenn man den Messaufbau von oben betrachtet, dann sehen die geometrischen Verhältnisse sehr viel komplizierter aus, weil dann nur noch ein Teil der Sphäre verwendet wird (unter der Annahme dass der Planspiegel rund ist).

Tabelle für den kleinsten möglichen Einfallswinkel auf der Planfläche, unter der Annahme dass die gesamte Oberfläche der Sphäre verwendet wird:  (Einfallswinkel = Winkel zwischen optischer Achse und dem Lot auf der Planfläche)
 
D_FL / D_SP = 0.60 D_FL / D_SP = 0.65 D_FL / D_SP = 0.70 D_FL / D_SP = 0.75 D_FL / D_SP = 0.80 D_FL / D_SP = 0.85 D_FL / D_SP = 0.90 D_FL / D_SP = 0.95
R / D_SP = 3 13.8° 16.8° 20.6° 25.6° 32.3° 41.2° --- ---
R / D_SP = 4 10.5° 12.9° 16.0° 20.1° 26.9° 34.1° --- ---
R / D_SP = 5 8.5° 10.4° 13.0° 16.5° 21.4° 28.9° 40.7° ---
R / D_SP = 6 7.1° 8.7° 10.9° 13.9° 18.2° 24.8° 36.0° ---
R / D_SP = 8 5.3° 6.6° 8.2° 10.6° 13.9° 19.3° 28.9° ---
R / D_SP =10 4.3° 5.3° 6.6° 8.5° 11.3° 15.7° 24.0° 42.9°

Falls der Planspiegel rund ist, wird von oben gesehen nur ein Teil der Sphäre verwendet. Das hat zur Folge, dass der Einfallswinel noch etwas kleiner sein kann als in der Tabelle angegeben.
 
 
 

Problem: Bei unverspiegelten Planflächen ist der Streifen-Kontrast sehr schlecht, weil der Test-Strahl zweimal an der zu testenden Fläche reflektiert wird.

Der Reklektionsgrad (für unpolarisiertes Licht) hängt vom Brechungsindex und vom Einfallswinkel ab:

          tan^2(E-E')         sin^2(E-E')
R = 0.5 * ----------- + 0.5 * -----------
          tan^2(E+E')         sin^2(E+E')

mit E  = Einfallswinkel (Winkel zwischen optischer Achse und dem Lot auf der Planfläche)
    E' = mit dem Brechungsgesetz berechneter Winkel, E' = arcsin((n/n') * sin(E)) 
    n  = Brechungsindex von Luft = 1.00029
    n' = Brechungsindex des Glases, hier Zerodur mit n' = 1.5404

Tabelle für den Reflektionsgrad an einer Luft/Zerodur Fläche, für verschiedene Einfallswinkel:
 
Einfallswinkel R R^2 0.9 * R^2
0.045 0.0020 0.0018
0.045 0.0020 0.0018
10° 0.045 0.0020 0.0018
15° 0.045 0.0020 0.0018
20° 0.045 0.0020 0.0018
25° 0.046 0.0021 0.0019
30° 0.047 0.0022 0.0020
35° 0.048 0.0023 0.0021
40° 0.051 0.0026 0.0023
45° 0.056 0.0031 0.0028
50° 0.063 0.0040 0.0036
55° 0.076 0.0058 0.0052
60° 0.096 0.0092 0.0083
65° 0.127 0.0161 0.0145
70° 0.178 0.0317 0.0285
75° 0.260 0.0676 0.0608
80° 0.394 0.1552 0.1397
85° 0.617 0.3807 0.3426
90° 1.000 1.0000 1.0000

I've written a paper about a special version of the Ritchey-Common test, where the flat is tested under different angles of incidence. Available upon request by e-mail.
 

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13. Der Zusammenhang zwischen Oberflächen- und Wellenfrontfehlern
The Relationship between Surface Errors and Wavefront Errors

Wenn in einer optischen Oberfläche ein Fehler der Höhe F befindet, dann wird die Wellenfront von diesem Fehler beeinflusst. Es besteht eine Anhängigkeit vom Einfallswinkel alpha. Der Einfallswinkel ist definiert als der Winkel zwischen der optischen Achse und dem Lot auf der optischen Fläche. Man muss drei Fälle unterschieden:

Fall 1: Reflektion an einer fehlerhaften spiegelnden Oberfläche

  OPD = 2 * F * cos(alpha)

  bei senkrechtem Lichteinfall: OPD = 2 * F
 

Fall 2: Refraktion an einer fehlerhaften Trennfläche n1 --> n2

  OPD = F / n2 * ( sqrt( n2^2 - n1^2 * sin^2(alpha) ) - n1 * cos(alpha) )

  bei senkrechtem Lichteinfall: OPD = F * (n2-n1) / n2
 

Fall 3: Durchgang einer bereits gestörten Wellenfront OPD1 durch eine fehlerfreie Trennschicht n1 --> n2

  OPD2 = OPD1 * (n1 / n2)

Fall 3 ist unabhängig vom Einfallswinkel.
 

Wichtig:
Bei Reflektion wird der Wellenfront-Fehler kleiner wenn der Einfallswinkel vergrössert wird.
Bei Refraktion wird der Wellenfront-Fehler grösser wenn der Einfallswinkel vergrössert wird.
 

Beispiele:

Spiegel bei senkrechtem Lichteinfall (alpha = 0°):  OPD = 2 * F
Spiegel bei alpha = 30°:  OPD = 1.732 * F
Spiegel bei alpha = 45°:  OPD = 1.414 * F
Spiegel bei alpha = 60°:  OPD = F 

Senkrechter Durchgang durch eine fehlerhafte Luft/Glas Fläche (n=1 / n=1.5):
  Wellenfront-Fehler im Glas:  OPD = 0.333 * F
  Wellenfront-Fehler nach Austritt aus dem Glas:  OPD = 0.5 * F

Rechtwinkliges Prisma n=1.5, Oberflächenfehler auf Hypotenuse:
  Wellenfront-Fehler nach Totalreflektion an der Hypotenuse, aber noch im Glas:  OPD = 1.414 * F
  Wellenfront-Fehler nach Austritt aus dem Prisma:  OPD = 2.121 * F

--> Bei einem Spiegel unter 45° Lichteinfall wäre der Wellenfront-Fehler etwas kleiner als beim Prisma. 

Rechtwinkliges Prisma n=1.5, Oberflächenfehler auf Kathete:
  Wellenfront-Fehler nach Totalreflektion an der Hypotenuse, aber noch im Glas:  OPD = 0.333 * F
  Wellenfront-Fehler nach Austritt aus dem Prisma:  OPD = 0.5 * F

--> Bei rechtwinkligen Prismen wirkt sich ein Fehler in der Hypotenuse etwa vier mal stärker aus als ein Fehler in einer der Katheten.

Licht trifft unter 45° auf eine fehlerhafte Glasfläche n=1.5:
  Wellenfront-Fehler nach Refraktion, aber noch im Glas:  OPD = 0.411 * F
  Wellenfront-Fehler nach Austritt aus dem Glasblock (egal unter welchem Austrittswinkel):  OPD = 0.616 * F
 

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14. Astigmatische Verspannung eines Spiegels
Astigmatic Deformation of a Mirror

Zusammenhang zwischen astigmatischer Brennweiten-Differenz und Wellenfrontfehler
Relationship between astigmatic Focal Length Difference and Wavefront Error

Wenn ein Parabol-Spiegel Astigmatismus hat, dann hat er in unterschiedlichen Schnittebenen
unterschiedliche Brennweiten. Wenn sich die Brennweiten um delta_f unterscheiden, dann ergibt
sich am Rand des Spiegels folgender Oberflächen-Fehler:

          D^2 * delta_f     delta_f    delta_R * D^2
PV_Surf = -------------  =  -------- = -------------
            16 * f^2        16 * N^2      8 * R^2 

und der Wellenfront-Fehler ist doppelt so gross:

          D^2 * delta_f     delta_f    delta_R * D^2
PV_Wave = -------------  =  -------  = -------------
            8 * f^2         8 * N^2       4 * R^2

Das sind Näherungsformeln für delta_f << f.

mit D = Durchmesser des Spiegels       (diameter of mirror)
    delta_f = Brennweiten-Differenz    (focal length difference)
    delta_R = Radien-Differenz        (radius of curvature difference)
    f = Brennweite          (focal length)
    R = Krümmungsradius        (radius of curvature)
    N =  f / D = Öffnungsverhältnis    (focal ratio)
 
 

Astigmatische Verspannung einer runden Platte, Krafteinleitung an 4 Punkten am Umfang

          c * F * D^2
PV_Surf = ----------- 
           2 * PlSt

oder

    2 * PV_Surf * PlSt
F = ------------------
         c * D^2 

mit
PV_Surf = Oberflächenabweichung Peak to Valley
PlSt = Biegesteifigkeit der Platte, siehe unten
c = Konstante, abhängig von der Poisson-Zahl
F = Kraft in Newton
D = Durchmesser in Meter

Die Formel basiert auf dem Buch von Stephen P. Timoshenko, "Therory of Plates and Shells", Seite 294

Die Kraft F ist die Summe der Kräfte, die bei den Positionen 0 und 180 Grad am Rand auf die Platte einwirken.
Bei den Positionen 90 und 270 Grad wirken die gleichen Kräfte in umgekehrter Richtung auf die Platte ein.
Wenn die Krafteinleitungspunkte nicht ganz am Rand sitzen sondern etwas weiter innen, dann wird die benötigte Kraft größer.
Dies ist eine Näherungsformel für dünne Platten (Durchmesser >> Dicke) mit gleichmäßiger Dicke. 

Die Konstante c hängt von der Poisson-Zahl ab:
Poisson-Zahl v Konstante c
0.15 0.1055
0.17 0.1077
0.20 0.1114
0.206 0.1121
0.243 0.1171
0.25 0.1181
0.28 0.1225
0.30 0.1257
0.34 0.1327
0.35 0.1346

Biegesteifigkeit der Platte:

          E * h^3
PlSt = --------------
       12 * (1 - v^2)

mit
 E = E-Modul in Pascal
 v = Poisson-Zahl (Querkontraktions-Zahl)
 h = Plattendicke in Meter

Materialkonstanten:
E-Modul [GPa] Poisson-Zahl
Schott ZERODUR 90.3 0.243
Schott DURAN 8330 63 0.20
Schott N-BK7 82 0.206
Quarzglas 72 0.l7
Schott BOROFLOAT 33 64 0.20
Schott SUPRAX 8488 67 0.20
ASTROSITAL 90.2 0.28
Corning ULE 7972 67.6 0.17
Aluminium 71 0.34
Stahl 206 0.28

Astigmatische Verspannung, Durchbiegung an jeder beliebigen Stelle der Platte:

                    2 * F * D^2 
PV_Surf(r,th) = ------------------- * SUM
                Pi * (3 + v) * PlSt 

      unendlich  [ (    1             2 (1 + v)           r^2    )                                        ]
SUM = SUMME      [ ( --------- + ------------------- - --------- ) * 1.4142 * r^m * sin( 0.7854 - m * th) ]
      m=2,4,6,.. [ ( m (m - 1)   (1 - v) (m - 1) m^2   m (m + 1) )                                        ]
 

mit
r = normierte radiale Variable im Bereich [0..1]
th = Winkel-Variable 
 

Wer Fehler findet möge mir das bitte sagen!
If you find bugs, please let me know!
 

15. Genauigkeit von Fizeau Interferometer Objektiven
Accuracy of Fizeau Interferometer Objectives
 
 
Test Waves/Fringe Constant Possible error if Fizeau Reference Surface has 1/10 wave PV surface error Possible error if Fizeau Reference Surface has 1/15 wave PV surface error Possible error if Fizeau Reference Surface has 1/20 wave PV surface error Possible error if Fizeau Reference Surface has 1/30 wave PV surface error Possible error if Fizeau Reference Surface has 1/40 wave PV surface error Possible error if Fizeau Reference Surface has 1/50 wave PV surface error
Wavefront Error,
Single Pass
1.0 1/5 wave PV 1/7.5 wave PV 1/10 wave PV 1/15 wave PV 1/20 wave PV 1/25 wave PV
Surface Error,
Single Pass 
0.5 1/10 wave PV 1/15 wave PV 1/20 wave PV 1/30 wave PV 1/40 wave PV 1/50 wave PV
Wavefront Error,
Double Pass
0.5 1/10 wave PV 1/15 wave PV 1/20 wave PV 1/30 wave PV 1/40 wave PV 1/50 wave PV
Surface Error,
Double Pass
0.25 1/20 wave PV 1/30 wave PV 1/40 wave PV 1/60 wave PV 1/80 wave PV 1/100 wave PV
Wavefront Error of Mirror under 45° (Double Pass) 0.707 1/7 wave PV 1/11 wave PV 1/14 wave PV 1/21 wave PV 1/28 wave PV 1/35 wave PV
Surface Error of Mirror under 45° (Double Pass) 0.3536 1/14 wave PV 1/21 wave PV 1/28 wave PV 1/42 wave PV 1/56 wave PV 1/71 wave PV
16. Verzeichnung in Interferogrammen   Distortion in Interferograms

r' is the radial coordinate in an interferogram which is defined over the unit circle: 0 < r' < 1

This interferogram is mapped to a distorted interferogram, where r is the radial coordiante:

r = a * r'^2 + (1 - a) * r'

The distorted interferogram is also defined over the unit circle: 0 < r < 1
The coefficient a is the distortion coefficient. For the special case a = 0, there is no distortion: r' = rx
For a != 0, the mapping function doesn't change the diameter of the unit circle: r = 1 for r' = 1
 

We will also need some powers of r soon:

r'^2 = a^2 * r^4 + 2 * (a - a^2) * r^3 + (1 - 2*a + a^2) * r^2
 
 

Now let's assume we have an interferogram (or a wavefront W) which represents only a power (or focus) term:

W = Z3 * (-1 + 2 * r'^2)

If we write this equation in terms of r, we get:

W = Z3 * (-1 + 2 * (a^2 * r^4 + 2 * (a - a^2) * r^3 + (1 - 2*a + a^2) * r^2))
 
 

  Offensichtlich sind hier nur die Winkel-unabhängigen Zernike-Polynome von Interesse:
  Obviously we need only the angle-independant Zernike polynomials in this case:

  P0  =  1                                        constant
  P3  = -1 +  2 r^2        focus
  P8  =  1 -  6 r^2 +  6 r^4    spherical 3rd order 
  P15 = -1 + 12 r^2 - 30 r^4 +  20 r^6     spherical 5th order
  P24 =  1 - 20 r^2 + 90 r^4 - 140 r^6 + 70 r^8   spherical 7th order

  mit r = radiale Variable im Bereich [0..1]  radial variable in range [0..1]
 

  Die Differenz e soll als gewichtete Summe dieser Polynome dargestellt werden:
  The difference e shall be expressed as a weighted sum of these polynomials:

  e = z0 P0 + z3 P3 + z8 P8 + z15 P15 + z24 P24

  oder  or

  e = ( z0 -   z3 +   z8 -    z15 +     z24 ) +
      (      2 z3 - 6 z8 + 12 z15 -  20 z24 ) r^2 + 
      (             6 z8 - 30 z15 +  90 z24 ) r^4 +
      (                    20 z15 - 140 z24 ) r^6 +
      (                              70 z24 ) r^8

  wobei z0, z3, z8, z15, z24 die gesuchten Zernike-Koeffizienten sind.
  where z0, z3, z8, z15, z24 are the unknown Zernike coefficients.

  Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich nun folgendes Gleichungssystem:
  By comparing the coefficients we get this system of equations:

  z0 -   z3 +   z8 -    z15 +     z24 = 0
       2 z3 - 6 z8 + 12 z15 -  20 z24 = 0
              6 z8 - 30 z15 +  90 z24 = c4
                     20 z15 - 140 z24 = c6
                               70 z24 = c8

  und das Gleichungssystem wird jetzt schrittweise gelöst:
  which will be solved now step by step:

  z24 = c8 / 70

  z0 -   z3 +   z8 -    z15  =    -   1 z24
       2 z3 - 6 z8 + 12 z15  =       20 z24
              6 z8 - 30 z15  = c4 -  90 z24
                     20 z15  = c6 + 140 z24

  z15 = (c6 + 140 z24) / 20

  z0 -   z3 +   z8 =    -  1 z24 +    z15
       2 z3 - 6 z8 =      20 z24 - 12 z15
              6 z8 = c4 - 90 z24 + 30 z15

  z8 = (c4 -  90 z24 + 30 z15) / 6

  z0 -   z3 = -1 z24 +    z15 -   z8
       2 z3 = 20 z24 - 12 z15 + 6 z8

  z3 = (20 z24 - 12 z15 + 6 z8) / 2
     = 10 z24 - 6 z15 + 3 z8

  z0 = - z24 + z15 - z8 + z3
 

  Zusammengefasst ergeben sich diese Formeln zur Berechnung der Zernike-Koeffizienten:
  Summarized we have these formulas for the unknown Zernike coefficients:

  z24 = c8 / 70
  z15 = (c6 + 140 z24) / 20
  z8  = (c4 -  90 z24 + 30 z15) / 6
  z3  = 10 z24 - 6 z15 + 3 z8
  z0  = - z24 + z15 - z8 + z3

  oder ineinander eingesetzt:  or:

  z24 =                    1/70 c8 
  z15 =          1/20 c6 + 1/10 c8
  z8  = 1/6 c4 +  1/4 c6 +  2/7 c8
  z3  = 1/2 c4 + 9/20 c6 +  2/5 c8
  z0  = 1/3 c4 +  1/4 c6 +  1/5 c8

  mit den ursprünglichen Werten für c4, c6, c8 ergibt sich:
  with the original values for c4, c6 and c8 we get:

  z24 =                                            D^8 / (58720256 f^7)
  z15 =                      D^6 / (655360 f^5) +   D^8 / ( 8388608 f^7)
  z8  = D^4 / (6144 f^3) +   D^6 / (131072 f^5) + 5 D^8 / (14680064 f^7)
  z3  = D^4 / (2048 f^3) + 9 D^6 / (655360 f^5) +   D^8 / ( 2097152 f^7)
  z0  = D^4 / (3072 f^3) +   D^6 / (131072 f^5) +   D^8 / ( 4194304 f^7)

  oder  or

  z24 = D (                                     1 / (58720256 N^7) )
  z15 = D (                  1 / (655360 N^5) + 1 / ( 8388608 N^7) )
  z8  = D ( 1 / (6144 N^3) + 1 / (131072 N^5) + 5 / (14680064 N^7) )
  z3  = D ( 1 / (2048 N^3) + 9 / (655360 N^5) + 1 / ( 2097152 N^7) )
  z0  = D ( 1 / (3072 N^3) + 1 / (131072 N^5) + 1 / ( 4194304 N^7) )

  mit N = f / D    (Öffnungsverhältnis) (focal ratio)

  Die Koeffizienten z0 und z3 werden nicht benötigt, weil sie von der Justierung zwischen Sphäre
  und Parabel abhängen. Mit den Koeffizienten z8, z15 und z24 wird rechnerisch eine Fläche erzeugt,
  die von der gemessenen Oberflächenform subtrahiert wird, um den wahren Oberfächen-Fehler der
  Parabel zu erhalten.
  The coefficients z0 and z3 are not required, because they depend on the adjustment between the sphere
  and the parabola. The coefficients z8, z15 and z24 can be used for generating an artificial surface
  which can be subtracted from the measured surface, so that the result is the surface error of the parabola. 

  Man beachte dass sich diese Zernike-Koeffizienten auf den Oberflächenfehler des Spiegels beziehen.
  Die Zernike-Koeffizienten für die Wellenfront sind doppelt so gross!
  Please note that these Zernike coefficients are for the surface error of the mirror.
  Multiply by 2 to get the Zernike coefficients for the wavefront.
 

  Wer Fehler findet möge mir das bitte sagen!
  If you find bugs, please let me know!

17. Kurven anpassen Curve Fitting

Fitting a straight line through two points:

y1 = a x1 + b
y2 = a x2 + b

a = (y1 - y2) / (x1 - x2)

b = y1 - a x1
 
 

Fitting a parabola through three points:

y1 = a x12 + b x1 + c
y2 = a x22 + b x2 + c
y3 = a x32 + b x3 + c

     (y1-y2) (x1-x3) - (y1-y3) (x1-x2)
a = -----------------------------------
    (x12-x22)(x1-x3) - (x12-x32)(x1-x2)

    y1 - y2 - a (x12-x22)
b = ---------------------
          x1 - x2

c = y1 - a x12 - b x1

 

18. Berechnungen zum Tilted Wave Interferometer

Angenommen eine beliebige Asphäre hat ihren Scheitelpunkt bei (0,0) und ein Punkt auf ihrer Oberfläche liegt bei (x1,y1) und die Oberfläche hat in diesem Punkt die Steigung m.
Dann hat die Normale auf der Oberfläche die Gleichung:

y - y1 = -1 / m * (x - x1)

oder

y = y1 - 1/m * (x - x1)

Wir betrachten jetzt eine Ebene y=y2, in der sich eine punktförmige Lichtquelle befindet.
Beim Tilted Wave Interferometer wird diese Lichtquelle seitlich auf der Ebene verschoben, und der vom Spiegel reflektierte Strahl schneidet die Ebene näherungsweise bei x=0. Für die Berechnung ist es aber günstiger wenn mna den Lichtweg umkehrt, d.h. die Lichtquelle befindet sich bei (0,y2) und gesucht ist der Punkt (x3,y2), wo der reflektierte Strahl die Ebene y=y2 schneidet.

Der Punkt (0,y2) soll an der Normalen gespiegelt werden, das ergibt Punkt 5. Zunächst wird der dazwischenliegende Punkt 4 berechnet, der auf der Normalen liegt. Die Verbindungslinie von Punkt 2 nach Punkt 4 (und Punkt 5) hat die Gleichung:

y = m * x + y2

Durch gleichsetzen mit der Gleichung der Normalen erhält man die x-Koordinate von Punkt 4:

x4 = (x1 + m * (y1 - y2)) / (m^2 + 1)

Punkt 5 ist von Punkt 2 genau doppelt so weit entfernt wie Punkt 4, daher gilt:

x5 = 2 * x4
y5 = 2 * m * x4 + y2

Punkt 5 liegt ebenso auf dem reflektieten Strahl wie der gesuchte Punkt 3. Daher gilt:

(x1 - x5) / (y1 - y5) = (x1 - x3) / (y1 - y3)

und daraus ergibt sich das gesuchte x3:

x3 = x1 + (x1 - x5) * (y2 - y1) / (y1 - y5) 
 
 

Im Sonderfall einer Parabel vereinfachen sich die Formeln wie folgt:

y1 = x1^2 / (4 * f)         m = x1 / (2 * f)

x4 = x1 * (8 f^2 + x1^2 - 4 f y2) / (2 x1^2 + 8 f^2)

x5 = x1 * (8 f^2 + x1^2 - 4 f y2) / (x1^2 + 4 f^2)
y5 = (x1 / f) * x4 + y2

x3 = x1 + (x1 - x5) * (y2 - y1) / (y1 - y5) 

 


 
19. Darstellung einer ungleichmäßig dick aufgedampften Aluminium-Schicht als Zernike-Polynome

Wenn eine Aluminium-Schicht auf einen Spiegel aufgedampft wird, dann ist die Schicht nicht an allen Stellen gleich dick. Wir nehmen an, dass der Verdampfer punktförmig ist und sich in einem Abstand a über der Mitte des Spiegels befindet. Die Schicht wird dann in der Mitte des Spiegels am dicksten, und zum Rand hin dünner.
Die Krümmung des Spiegels wird bei dieser Berechnung vernachlässigt, d.h. wir gehen von einem Planspiegel aus. 

Die Schichtdicke an einer beliebigen Stelle (normiert auf die Dicke in der Spiegelmitte) wird so berechnet:

SD = (1 + d^2)^(-3/2)

d = x / a

mit x = radiale Koordinate auf dem Spiegel
    a = Abstand vom Verdampfer zum Spiegel

Die Schichtdicke kann auch als Reihenentwicklung dargestellt werden:

          3         15         35         315
SD = 1 - --- d^2 + ---- d^4 - ---- d^6 + ----- d^8 - ...
          2          8         16         128

Für den Vergleich mit Zernike-Polynomen ist die radiale Variable d aber ungeeignet. Wir benötigen stattdessen eine radiale Variable r die im Intervall [0..1] liegt.

Es gilt der Zusammenhang:

d = c * r    mit c = D/(2*a)   D = Spiegel-Durchmesser

Damit sieht die Reihenentwicklung so aus:

          3             15             35             315
SD = 1 - --- c^2 r^2 + ---- c^4 r^4 - ---- c^6 r^6 + ----- c^8 r^8 - ...
          2              8             16             128
 

Offensichtlich sind hier nur die Winkel-unabhängigen Zernike-Polynome von Interesse:
Obviously we need only the angle-independant Zernike polynomials in this case:

  P0  =  1                                       constant
  P3  = -1 +  2 r^2                              focus
  P8  =  1 -  6 r^2 +  6 r^4                     spherical 3rd order 
  P15 = -1 + 12 r^2 - 30 r^4 +  20 r^6           spherical 5th order
  P24 =  1 - 20 r^2 + 90 r^4 - 140 r^6 + 70 r^8  spherical 7th order

Die Schichtdicke SD soll als gewichtete Summe dieser Polynome dargestellt werden:

SD = z0 P0 + z3 P3 + z8 P8 + z15 P15 + z24 P24

oder or

SD = ( z0 -   z3 +   z8 -    z15 +     z24 ) +
     (      2 z3 - 6 z8 + 12 z15 -  20 z24 ) r^2 + 
     (             6 z8 - 30 z15 +  90 z24 ) r^4 +
     (                    20 z15 - 140 z24 ) r^6 +
     (                              70 z24 ) r^8

  wobei z0, z3, z8, z15, z24 die gesuchten Zernike-Koeffizienten sind.
  where z0, z3, z8, z15, z24 are the unknown Zernike coefficients.

  Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich nun folgendes Gleichungssystem:
  By comparing the coefficients we get this system of equations:

  z0 -   z3 +   z8 -    z15 +     z24 = 1
       2 z3 - 6 z8 + 12 z15 -  20 z24 = a1 = -3/2 c^2
              6 z8 - 30 z15 +  90 z24 = a2 = 15/8 c^4
                     20 z15 - 140 z24 = a3 = -35/16 c^6
                               70 z24 = a4 = 315/128 c^8

  Die Variablen a1 bis a4 wurden temporär eingeführt um die Lösung des Gleichungssystems zu vereinfachen. 
  Das Gleichungssystem wird jetzt schrittweise gelöst:

  z24 = 1/70 a4

  z0 -   z3 +   z8 -    z15 =  1 - 1/70 a4
       2 z3 - 6 z8 + 12 z15 = a1 +  2/7 a4
              6 z8 - 30 z15 = a2 -  9/7 a4
                     20 z15 = a3 +    2 a4

  z15 = 1/20 a3 + 1/7 a4

  z0 -   z3 +   z8 =  1 + 1/20 a3 + 9/70 a4
       2 z3 - 6 z8 = a1 -  3/5 a3 - 10/7 a4
              6 z8 = a2 +  3/2 a3 +    3 a4

  z8 = 1/6 a2 + 1/4 a3 + 1/2 a4

  z0 -   z3 =  1 - 1/6 a2 -  1/5 a3 -  2/5 a4
       2 z3 = a1 +     a2 + 9/10 a3 + 11/7 a4

  z3 = 1/2 a1 + 1/2 a2 + 9/10 a3 + 11/14 a4

  z0 = 1 + 1/2 a1 + 1/3 a2 + 1/4 a3 + 27/70 a4

  Zusammengefasst ergeben sich diese Formeln zur Berechnung der Zernike-Koeffizienten:
  Summarized we have these formulas for the unknown Zernike coefficients:

  z0  = 27/70 a4 +  1/4 a3 + 1/3 a2 + 1/2 a1 + 1 
  z3  = 11/14 a4 + 9/10 a3 + 1/2 a2 + 1/2 a1
  z8  =   1/2 a4 +  1/4 a3 + 1/6 a2
  z15 =   1/7 a4 + 1/20 a3 
  z24 =  1/70 a4

  Für a1 bis a4 werden jetzt wieder die ursprünglichen Werte eingesetzt:

  z0  = 1 - 3/4 c^2 +   5/8 c^4 - 35/64 c^6 + 243/256 c^8
  z3  =   - 3/4 c^2 + 15/16 c^4 - 63/32 c^6 + 495/256 c^8
  z8  =                5/16 c^4 - 35/64 c^6 + 315/256 c^8
  z15 =                         -  7/64 c^6 +  45/128 c^8
  z24 =                                         9/256 c^8

  Wir erinnern uns das c wie folgt definiert ist:

  c = D/(2*a)
  mit  D = Spiegel-Durchmesser
       a = Abstand vom Verdampfer zum Spiegel
 

  =======================================================================================================

  Beispiel:

  D = 300mm, a = 400mm
  c = 0.375
  c^2 = 0.1406
  c^4 = 0.0198
  c^6 = 0.0028
  c^8 = 0.0004

  z0  = 1 - 0.1055 + 0.0124 - 0.0015 + 0.0004 =  0.9058
  z3  =   - 0.1055 + 0.0185 - 0.0055 + 0.0008 = -0.0917
  z8  =              0.0062 - 0.0015 + 0.0005 =  0.0052
  z15 =                     - 0.0003 + 0.0001 = -0.0002 
  z24 =                                0.0000 =  0.0000
  
  Diese Ergebnisse werden nun interpretiert.

  Z0 ist positiv und entspricht der mittleren Schichtdicke, bezogen auf den Wert 1.0 in der Spiegelmitte.
  Wenn der Abstand a sehr groß wäre, dann würde sich eine gleichmäßig dicke Schicht ergeben. In diesem
  Fall würde c gegen Null und Z0 gegen 1.0 gehen. 

  Z3 ist negativ, das bedeutet aus einer Planfläche würde eine leicht konvexe Fläche werden.
  Das ist logisch, weil die Schichtdicke am Rand dünner ist als in der Mitte.
  Z3 ist aber irrelevant, weil es durch Nachfokussieren ausgeglichen werden kann.

  Für eine eventuelle Beeinträchtigung der Abbildung ist nur die sphärische Aberration Z8 von Bedeutung.
  Nehmen wir mal an dass die Beschichtung in der Mitte 100nm dick ist, das entspricht ungefähr 1/5 lambda.
  Der Z8 Koeffizient wäre dann 0.0052 * 100nm = 0.52nm auf der Oberfläche des Spiegels, oder 
  1.04nm in der reflektierten Wellenfront. Um bei Z8 den PV Wert zu erhalten, muss man noch mit
  1.5 multiplizieren, das ergibt dann PV = 1.56nm in der reflektierten Wellenfront. Das entspricht 
  etwa lambda/320 und somit völlig vernachlässigbar.

  Wenn Z8 bereits vernachlässigbar klein ist, dann gilt das erst Recht für Z15 und Z24.

  =======================================================================================================